Re: [obm-l] Problema 5 da OBMU

["claudio.buffara" <claudio.buffara@xxxxxxxxxxxx>]

Oi, Gugu e Luis:

Baseado na ultima mensagem (do Gugu) temos um novo 
problema derivado desse:

Qual a maior base de logaritmos para a qual a serie converge 
ou, mais precisamente, seja:
A = {b em R tais que para logs na base b a serie converge}
Quem eh sup(A) ?

Pelo que o Gugu disse, 2 <= sup(A) <= e.
 
Um abraco,
Claudio.
---------- Cabeçalho inicial  -----------

De: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Cópia: 
Data: Fri, 30 May 2003 04:04:13 -0300 (EST)
Assunto: Re: [obm-l] Problema 5 da OBMU

>    Caro Luis,
>    Nao sei se o Rousseau entendeu o enunciado. Acho que ele 
esta' pensando
> que o numero de logs e' constante, e ai o resultado e' bem 
classico. Nesse
> problema o numero de logs em cada termo depende de n (ou 
de x, na integral). 
> Ou seja: a funcao e' 1/x entre 1 e e, 1/(x.log(x)) entre e e e^e e 
assim por
> diante. E' um fato interessante (que a meu ver mostra o quao 
delicada e'a
> questao da convergencia dessa serie) que, se trocarlos log 
(logaritmo natural) 
> por lg (logaritmo na base 2), a serie, em vez de divergir, 
converge.
>    Abracos,
>             Gugu
> 
> >
> >Sauda,c~oes,
> >
> >Apaguei a msg original do Gugu. O que sobrou foi:
> >
> >Caros colegas,
> >Para uma serie cuja discussao sobre convergencia e'
> >mais delicada, vejam o problema 5 da ultima OBM
> >universitaria.
> >Trata-se da serie
> >Soma(n>=1)(1/(n.log(n).log log (n). ... . log log ... log(n))),
> >onde os logaritmos sao naturais, e o numero de termos
> >no produto depende de n:
> >paramos no ultimo log log ... log(n) que e' maior ou igual a
> >1.
> >
> >Antes de ver a solução proposta na Eureka, propus o
> >problema pro prof. Rousseau. Sua resposta demorou um
> >pouco por razões que não vêm ao caso mas chegou.
> >
> >Recentemente falou-se do teste da integral numa outra
> >série ..... pelo Salvador???
> >Mais um uso do mesmo teste.
> >
> >[]'s
> >Luis
> >
> >===
> >The series with nth term
> >1/(n log n log log n \cdots log
 Let log_k x = log \cdots \log x with
> >k iterates.  To see that \int_a^R dx/(x log_k x )
> >tends to infinity with R, argue by induction and set x = e^u.
> >Then the integral in question becomes
> >\int_{log a}^{log R} du/(u \log_{k-1} u)
> >which tends to infinity with R by induction.
> >
> >Alternatively, one can avoid integrals by using
> >the Cauchy condensation test.
> >
> >Cecil
> >===
> >
> >
> 
>=================================================
========================
> >Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> >http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
> 
>=================================================
========================
> 
> 
==================================================
=======================
> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
> 
==================================================
=======================
> 
> 

=========================================================================
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=========================================================================