Isso e que eu chamo de partir pra ignorancia!!!
Claudio Buffara <claudio.buffara@terra.com.br> wrote:
on 26.05.03 19:14, Rafael at matduvidas@yahoo.com.br wrote:
> Provar que em todo quadrilátero inscritivel, o produto
> das distâncias de um ponto qualquer da circunferência
> circunscrita a dois lados opostos é igual ao produto
> das distâncias do mesmo ponto às diagonais.
>
Oi, Rafael:
Esse deu um certo trabalho...
Seja o quadrilatoro ciclico ABCD e um ponto P sobre a circunferencia
circunscrita.
Sejam M e N pontos sobre AB e CD, respectivamente, tais que:
PM eh perpendicular a AB e PN eh perpendicular a CD
Sejam X e Y pontos sobre AC e BD, respectivamente, tais que:
PX eh perpendicular a AC e PY eh perpendicular a BD
Temos que provar que PM*PN = PX*PY.
Calculemos, inicialmente, a area do triangulo PAB:
[PAB] = (1/2)*AB*PM
Alem disso, pela lei dos senos no triangulo PAB, vale:
sen(APB) = AB/d, onde d = diametro da circunferencia circunscrita
Tambem sabemos que [PAB] = (1/2)*PA*PB*sen(APB)
Logo:
[PAB] = (1/2)*PA*PB*AB/d = (1/2)*AB*PM ==>
PM = PA*PB/d
De forma analoga, considerando os triangulos PCD, PAC e PBD, obtemos:
PN = PC*PD/d
PX = PA*PC/d
PY = PB*PD/d
Assim, teremos:
PM*PN = (PA*PB/d)*(PC*PD)/d = PA*PB*PC*PD/d^2
e
PX*PY = (PA*PC/d)*(PB*PD/d) = PA*PB*PC*PD/d^2
Logo, PM*PN = PX*PY.
Um abraco,
Claudio.
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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