RE: [obm-l] Desigualdade triangular

["Artur Costa Steiner" <artur_steiner@xxxxxxx>]

Uma outra forma de analisarmos a desigualdade do lado esquerdo, tomando por
base a mesma ideia apresentada pelo Marcio, eh considerarmos o problema de
Programacao Linear
Minimizar F(a,b,c)= a/(p-a) + b/(p-b) + c/(p-c), sujeito a 
a+b+c=p e a,b,c>0.
Conforme o Marcio mostrou, f(x) = x(p-x) tem segunda derivada(em x)
positiva, sendo assim convexa. Isto acarreta que F seja convexa na regiao
positiva de R^3 {(a,b,c) em R^3 | a,b,c>0} (isto porque o Hessiano - matriz
das segundas derivadas parciais - de funcoes separaveis como F eh uma matriz
diagonal na qual os termos da diagonal principal sao as derivadas segundas
das funcoes de uma variavel que compoem F. Como tais derivadas sao
positivas, os autovalores do Hessiano sao positivos e a matriz eh postiva
definida.) Utilizando os multiplicadores de Lagrange, temos pela simetria de
F que se a=b=c entao as condicoes de otimalidade de primeira ordem sao
satisfeitas. E como a funcao eh convexa, as condicoes de segunda ordem -
Hessiano positivo definido - nos mostram que em tais pontos ocorre um minimo
relativo que, no caso, eh global. E como p eh arbitrario, concluimos que a
expressao dada eh sempre maior que 3/2 (valor obtido fazendo-se a=b =c) para
a,b,c>0. 
Observemos que nesta analise nao consideramos as desigualdades triangulares.
Mas, ao inclui-las, nada muda, pois as mesmas sao automaticamente atendidas
quando a=b=c (pois existem triangulos equilateros!). Na linguagem da
Programacao Matematica, tais restricoes sao ditas redundantes, isto eh, a
inclusao das mesmas nao "corta fora" a solucao otima. 

Uma observacao interessante eh que 2 eh de fato o supremo da expressao
apresentada quando consideramos as desigualdades triangulares. Para vermos
isto, fixemos a e  b em , digamos, 1. Fazendo-se c tender a zero pela
direita, as duas primeiras parcelas da expressao tornam-se arbitrariamente
proximas de 1, ao passo que a ultima tende para zero. Logo, podemos tornar a
expressao tao proxima de 2 quanto desejarmos. O supremo 2, entretanto,
jamais e igualado. Mo membro da direita, a desigualdade eh, na realidade,
estrita (a menos que se considerem triangulos degenerados em segmentos de
reta, o que equivale a desigualdades triangulares do tipo a<= b+c). 
Um abraco a todos
Artur      

Essa questao ja foi discutida na lista antes. Acho inclusive que fui eu quem
colocou a duvida na epoca..
Para o lado direito:
    Pela desigualdade triangular, a < (b+c). Isso apenas nao basta, mas se
vc somar b+c, a+b+c < 2(b+c), donde b+c > p (semiperimetro).
Logo, a/(b+c) < a/p, e somando as desigualdades correspondentes aos outros 
termos, vc ve que da < a/p+b/p+c/p = 2.
    Uma solucao alternativa é você multiplicar todo mundo pelo denominador
comum e passar para o mesmo lado.. desenvolvendo, vc logo conclui a
desigualdade (usando que a-b-c > 0, ou mais precisamente, que a^2 (a-b-c) >
0).
Para o lado esquerdo:
    Esse lado vale mesmo supondo apenas q a,b,c sejam positivos:
Se vc nao quer multiplicar tudo e analisar (esse eu nao fiz, mas acredito
que tmb saia, assim como o outro lado), considere a funcao 
f(x) = x/(p-x) = p/(p-x) - 1. f''(x) > 0, logo ela tem concavidade para
cima. Portanto, dados 3 pontos a,b,c com a+b+c=p tem-se:
[f(a)+f(b)+f(c)]/3 >= f [ (a+b+c)/3 ]
Logo, a/(p-a) + b/(p-b) + c/(p-c) >= 3 * [ (1/3)(a+b+c) / (p - (a+b+c)/3)] =
3* [ (p/3) / (p-p/3) ], ou seja, 
    a/(b+c) + b/(a+c) + c/(a+b) >= 3/2
    Isso pode soar pouco natural a principio, mas eh apenas uma aplicacao de
uma conhecida desigualdade para fcs convexas (Jensen), que eh inclusive
bastante intuitiva. A idéia de fazer a+b+c = p tmb ajuda em diversos
problemas no qual a desigualdade eh homogenea (i.e, multiplicar todas as
variaveis por um real r > 0 nao muda a cara do problema).

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