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Re: [obm-l] Triangulo e Circunferencias Concentricas(perimetro)
Esse problema ja e meio famoso.Alias so uma coisa:o que e ponto notavel?
A minha ideia era a de provar que se um dos raios nao e perpndicular ao lado oposto sempre e possivel construir um triangulo maior em area.Tentem ver quando se pede o perimetro minimo.
Marcio <marciocohen@superig.com.br> wrote:
Oi Claudio! O resultado independe dos raios.
Sejam A,B,C os pontos nas circunferencias 1,2,3 respectivamente.
Observe que, fixados A e B, e sendo X na circ. 3, para maximizar a area
de ABX deve-se procurar uma paralela ao segmento AB o mais distante possivel
de AB (X serah o encontro com a circ. 3, para a altura ser maxima), ou seja,
deve-se colocar essa paralela tangente a circunferencia, e X como sendo o
ponto de tangencia.
Como o raio OX eh perpendicular a tangente, vemos que nesse caso o
centro O esta na altura que sai do vertice X.
Portanto, fixados A,B, a area eh maxima quando O esta na altura do
vertice X.
O raciocinio eh analogo para os outros casos, e a conclusao eh que O eh
ortocentro do triangulo de area maxima (de fato, se vc tem um triangulo no
qual O nao eh ortocentro, suponha que O nao pertence a altura relativa a X.
Mantendo os outros vertices fixos, vc consegue construir um triangulo de
area ainda maior apenas variando X como explicado acima, o que eh absurdo).
Abracos,
Marcio
----- Original Message -----
From: "Claudio Buffara"
To: "Lista OBM"
Sent: Thursday, May 22, 2003 10:58 PM
Subject: [obm-l] Triangulo e Circunferencias Concentricas.
> Caros colegas da lista:
>
> Preciso de ajuda neste aqui:
>
> Tres circunferencias concentricas tem raios de medidas 1, 2 e 3.
> Considere o conjunto A de todos os triangulos que tem um vertice em cada
uma
> das circunferencias.
> Seja T o elemento de A com area maxima.
> Prove que o centro das circunferencias eh um ponto notavel de T. Qual
ponto
> notavel eh este?
>
> Pergunta: O resultado continua valendo se os raios forem arbitrarios?
>
> Obrigado e um abraco,
> Claudio.
>
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> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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