Re: [obm-l] SENO

["Cláudio \(Prática\)" <claudio@xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx>]

----- Original Message -----
From: "Jorge Paulino" <jorgepsf@yahoo.com.br>
To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
Sent: Friday, May 23, 2003 8:40 AM
Subject: [obm-l] SENO


> Como provar, ALGEBRICAMENTE, que senx é menor ou igual
> a x no primeiro quadrante?
> Um abraço,
> Jorge
>
Oi, Jorge:

Aqui vai uma prova analítica (ou seja, usando limites de alguma forma - no
caso, uma derivada). Eu realmente não conheço uma prova estritamente
algébrica, mas se houver uma, deverá depender de uma definição estritamente
algébrica da função seno.

Considere f: [0,+infinito) --> R dada por:
f(x) = x - sen(x)

Naturalmente f(0) = 0.

Além disso, f'(x) = 1 - cos(x) >=0 para todo x.

Isso implica que f é não-decrescente, ou seja, se x > y >= 0 então f(x) >=
f(y).

Como f(0) = 0, teremos que, para todo x > 0, f(x) >= f(0) = 0, ou seja, x >=
sen(x).

Em particular, isso vale para x em [0,Pi/2].

Um abraço,
Claudio.

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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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