Re: [obm-l] ex-inscritas

[Claudio Buffara <claudio.buffara@xxxxxxxxxxxx>]

Oi, Rafael:

Eh um prazer ajudar.

Uma boa parte das formulas de geometria podem ser deduzidas a partir de
consideracoes de areas ou entao das leis dos senos e/ou dos cossenos.

Por exemplo, a formula de Herao pra area dum triangulo sai por lei dos
cossenos e pela formula: AREA = S = (1/2)*b*c*sen(A).

Voce faz o seguinte:
Lei dos cossenos ==> a^2 = b^2 + c^2 - 2*b*c*cos(A) ==>
cos(A) = (b^2 + c^2 - a^2)/(2*b*c) ==>
cos^2(A) = (b^2 + c^2 - a^2)^2/(4*b^2*c^2)

Formula da Area ==> sen(A) = 2*S/(b*c) ==>
cos^2(A) = 1 - sen^2(A) = 1 - 4*S^2/(b^2*c^2)

Agora, voce iguala as duas expressoes de cos^2(A) e resolve para S.

Com um pouco de braco e habilidade em fatoracao voce cai na formula de
Herao.

*****

Depois de concluir o estudo de algum livro basico de geometria (tipo da
colecao Fundamentos da Matematica Elementar), se voce quiser se aprofundar
em "geometria olimpica", um livro que eu recomendo fortemente eh o:
GEOMETRY REVISITED de Coxeter e Greitzer, publicado pela Mathematical
Association of America.

Varias pessoas da lista disseram que o livro de geometria do Morgado eh
excelente mas, infelizmente, eu nao o conheco.

*****

Achei meio esquisito voce tirar tantos problemas dificeis de geometria de um
livro intitulado Fundamentos de Algebra e Analise. Tah certo isso?


Um abraco,
Claudio.


on 21.05.03 16:31, Rafael at matduvidas@yahoo.com.br wrote:

> Obrigado mesmo Cláudio!
> 
> Odeio ter uma fórmula e não saber de onde vem. Tipo a
> fórmula da área de Herão que uma vez vi a demonstração
> e me deu até medo...
> 
> Abraços,
> 
> Rafael.
> 
> --- Cláudio_(Prática)
> <claudio@praticacorretora.com.br> escreveu: > Oi,
> Rafael:
>> 
>> A demonstração é razoavelmente simples e envolve
>> apenas soma e/ou diferença
>> de áreas de triângulos.
>> A parte mais chata é descrever com palavras a figura
>> geométrica.
>> Mas, vamos lá de qualquer jeito:
>> 
>> Seja o triangulo ABC, com AB = c, AC = b, BC = a ==>
>> p = semi-perímetro = (a+b+c)/2.
>> 
>> Seja O o centro do ex-círculo de raio "r"
>> compreendido pelo angulo ABC.
>> Sejam M, N e P os pontos de tangencia deste
>> ex-círculo com os lados BA, AC e
>> BC, respectivamente.
>> 
>> Inicialmente, teremos:
>> OM = ON = OP = r
>> AN = x   e   NC = b - x  ==> AM = x   e   CP = b -
>> x.
>> 
>> [ABC] = [OMBP] - [OMACP]
>> 
>> [OMBP] = [OMB] + [OPB] =
>> OM*BM/2 + OP*BP/2 =
>> OM*(BA+AM)/2 + OP*(BC+CP)/2
>> = r*(c+x)/2 + r*(a+b-x)/2 =
>> = r*(a+b+c)/2 =
>> = r*p
>> 
>> [OMACP] = [OMA] + [ONA] + [ONC] + [OPC] =
>> = OM*MA/2 + ON*NA/2 + ON*NC/2 + OP*PC/2 =
>> = r*x/2 + r*x/2 + r*(b-x)/2 + r*(b-x)/2 =
>> = r*b
>> 
>> Logo, [ABC] = r*p - r*b = r*(p - b)
>> 
>> 
>> Um abraço,
>> Claudio.
>> 
>> ----- Original Message -----
>> From: "Rafael" <matduvidas@yahoo.com.br>
>> To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
>> Sent: Monday, May 19, 2003 4:13 PM
>> Subject: Re: [obm-l] ex-inscritas
>> 
>> 
>>> De onde vem essa fórmula:
>>> S = (p - b).r(b)
>>> 
>>> Tem algum nome? A demonstração é simples?
>>> 
>>> Rafael.
>>> 
>>> --- "A. C. Morgado" <morgado@centroin.com.br>
>>> escreveu: > Bem, os raios das exinscritas sao
>>> calculados por
>>>> S=(p-b)r(b) = (p-c)r(c)
>>>> sendo b e c os catetos e r(b) o raio da
>> exinscrita
>>>> que tangencia o
>>>> cateto b...
>>>> r(b)*r(c) = S^2 /(p-b)(p-c) = 4S^2/
>> (2p-2b)(2p-2c) =
>>>> 4S^2/(a+c-b)(a+b-c)
>>>> = 4S^2/ [a^2 - (b-c)^2] =
>>>> = 4S^2/2bc = 4S^2/4S = S
>>> 
>>> 
>> 
> _______________________________________________________________________
>>> Yahoo! Mail
>>> O melhor e-mail gratuito da internet: 6MB de
>> espaço, antivírus, acesso
>> POP3, filtro contra spam.
>>> http://br.mail.yahoo.com/
>>> 
>> 
> =========================================================================
>>> Instruções para entrar na lista, sair da lista e
>> usar a lista em
>>> 
>> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
>>> 
>> 
> =========================================================================
>> 
>> 
> =========================================================================
>> Instruções para entrar na lista, sair da lista e
>> usar a lista em
>> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
>> 
> =========================================================================
> 
> _______________________________________________________________________
> Yahoo! Mail
> O melhor e-mail gratuito da internet: 6MB de espaço, antivírus, acesso POP3,
> filtro contra spam.
> http://br.mail.yahoo.com/
> =========================================================================
> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
> =========================================================================
> 

=========================================================================
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=========================================================================