[obm-l] Re: [[obm-l] Re: [obm-l] potências]

[Artur Costa Steiner <artur_steiner@xxxxxxx>]

Talvez eu tenha captado a ideia de forma incorreta, mas nao eh verdade que se
a1, a2....an estao em PA entao a soma a1^m ...+ an^m eh divisivel por n. Um
contra-exemplo ocorre com os numeros naturais e m=1 . 1+2 =3 nao eh divisivel
por 2. 1+2+3+4 = 10 nao eh divisivel por 4. O problema original era um pouco
diferente, pedia para provar que, se m e n forem impares, entao 1^m +2^m
..+(n-1)^m eh divisivel por n. Observe que a soma vai ateh n-1.   
Um abraco
Artur 
> 
> Eu acho que tem ...
> 
> Um teorema ensinado a alunos de 2 grau diz que a soma das potencias M-esimas

> dos N primeiros numeros naturais é um polinomio na variavel N e de grau
M+1. 
> Para o seu caso, Seja P este polinomio. Assim : P=f(N). Quando vale f(0) ? 
> Zero ! ... Pois a soma das potencias M-esimas dos "zero primeiros" numeros 
> naturais deve ser zero ... Segue que P=f(N) nao tem termo independente ... 
> Logo ele é divisivel por N.
> 
> Te parece heretico este raciocinio ? Por que ?
> 
> Em verdade, USANDO TECNICAS MAIS FLEXIVEIS QUE O TEOREMA ACIMA, o caso 
> abaixo pode ser apreciado como  um mero detalhe ( corolario ) de uma 
> afirmacao bem mais geral.  Com efeito : Se A1, A2, A3, ..., An sao termos de

> uma progressao aritmetica entao S=A1^M + A2^M +...+ An^M é sempre divisivel

> por N, QUALQUER QUE SEJA A ORDEM DA PROGRESSAO ARITMETICA E QUALQUER QUE 
> SEJA O VALOR INTEIRO E POSITIVO DE M ( ORDEM DA PA MAIOR QUE ZERO ! ).
> 
>


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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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