[obm-l] Re: [obm-l] potências

["Marcelo Rufino de Oliveira" <marcelo_rufino@xxxxxxxxxxx>]

A melhor forma de fazer é usando congruências, sai rapidinho. Entretanto
congruências não é ensinado no ensino médio.
Vou usar uma transformação algébrica que eu acho que é acessível aos alunos
do ensino médio.
A fatoração é a seguinte:

x^n + y^n = (x + y)[x^(n - 1) - x^(n - 2).y + x^(n - 3).y^2 - x^(n - 4).y^3
+ ... + y^(n - 1)], onde n é ímpar.
Para demonstrar esta igualdade basta desenvolver o lado esquerdo e ir
cortanto os termos, sobrando somente o primeiro e o último.

Assim, se  x e y são inteiros, a nossa fatoração implica que  (x + y) | (x^n
+ y^n)
Organizando a sua soma aos pares, podemos afirmar que:
1^m + (n - 1)^m = (1 + n - 1)K = nK   =>   n | (1^m + (n - 1)^m)
2^m + (n - 2)^m = (2 + n - 2)K = nK   =>   n | (2^m + (n - 2)^m)
3^m + (n - 3)^m = (3 + n - 3)K = nK   =>   n | (3^m + (n - 3)^m)
...
[(n - 1)/2]^m + [(n + 1)/2]^m = [n/2 - 1/2 + n/2 + 1/2]K = nK   =>   n |
[(n - 1)/2]^m + [(n + 1)/2]^m

Assim, quando somar todos os termos, como n divide cada uma das parcelas de
dois termos agrupados, então n deve dividir a soma toda.

Até mais,
Marcelo Rufino de Oliveira


----- Original Message -----
From: "Rafael" <matduvidas@yahoo.com.br>
To: "OBM" <obm-l@mat.puc-rio.br>
Sent: Monday, May 19, 2003 3:56 PM
Subject: [obm-l] potências


> Será que tem como um aluno do segundo grau resolver
> isso?
>
> Se m e n são números inteiros positivos ímpares, o
> resto da divisão do número 1^m + 2^m + ... + (n-1)^m
> por n é...
>
> Resposta: zero.
>
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