Re: [obm-l] Teoremas de Menelaos,Ceva,Cristea e Van Aubel(ORETORNO):o que ha em comum?

[Claudio Buffara <claudio.buffara@xxxxxxxxxxxx>]

Title: Re: [obm-l] Teoremas de Menelaos,Ceva,Cristea e Van Aubel(O RETORNO):o que ha em comum?

on 12.05.03 13:51, Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet at peterdirichlet2002@yahoo.com.br wrote:

> Turma,essa seria uma pergunta para o Morgado responder mas eu vou deixar a lista se divertir com este :)
>  
> TEOREMA DE VAN AUBEL:As cevianas AT_a,BT_b e CT_c sao concorrentes no ponto T se e somente se AT/TT_a=AT_b/T_bC+AT_c/T_cB.
> Menelaos,Ceva e Cristea,ou Transversal,nao deixp pois ja falei demais disso.
> Ah ta,pro Claudio:a dita demonstraçao elegante e facil de obter.Primeiro mostre que a soma dos angulos de um triangulo do plano euclidiano e 180 graus.Ai e so alegria!
>  
> Ass.:Johann
>  
> PS.:Teoremas desse tipo sao meio inuteis mesmo...E especifico demais.
>
> *****
>  
> Oi, JP:
>
> Em qualquer ceviana AP com P em BC, podemos achar um ponto M entre A e P tal que:
> AM/MP = AT_b/T_bC+AT_c/T_cB.
>
> Assim, este teorema vale apenas numa direcao:
>
> SE as cevianas sao concorrentes ENTAO AT/TT_a=AT_b/T_bC+AT_c/T_cB.
>
> Isso pode ser provado com vetores, mas acho que uma demonstracao usando areas de triangulos eh mais elegante:
>
> Suponhamos que AT_a, BT_b e CT_c concorram em T. 
>
> Entao, tomando triangulos com a mesma altura (e, portanto, areas proporcionaias aos comprimentos das bases respectivas), teremos:
>
> AT_c/T_cB = [ATT_c]/[BTT_c] = [ACT_c]/[BCT_c] ==>
> AT_c/T_cB = ( [ACT_c] - [ATT_c] ) / ( [BCT_c] - [BTT_c] ) ==>
> AT_c/T_cB = [ATC]/[BTC]
>
> Analogamente, teremos:
>
> AT_b/T_bC = [ATB]/[BTC]
>
> Somando:
>
> AT_c/T_cB + AT_b/T_cB = ( [ATC] + [ATB] )/[BTC]
>
> Por outro lado, temos que:
>
> AT/TT_a = [ABT]/[BTT_a] = [ACT]/[CTT_a] ==>
>
> AT/TT_a = ( [ABT] + [ACT] ) / ( [BTT_a] + [CTT_a] ) ==>
>
> AT/TT_a = ( [ATC] + [ATB] ) / [BTC] = AT_c/T_cB + AT_b/T_cB
>
> *****
>
> De qualquer forma, gostaria de ver a sua demonstracao alegre baseada na soma dos angulos de um triangulo no plano euclidiano.
>
>
> Um abraco,
> Claudio.