[obm-l] re:problemas

["felipe mendona" <felipensador@xxxxxxxxxxx>]

                                Ola Fernando , lista OBM... professores!!!!




       Como sempre, vamos começar com aquela frasezinha praxe....


                               VEJA SE VOCE CONCORDA COMIGO------:Problema 
1-) pede pra calcular o numero de inteiros positivos distintos com ate  n 
algarismos, e de deixa tambem pede pra se determinar o numero de algarismos 
(distintos ou nao  ) usados para escrever todos inteiros positivos  com ate 
n algarismos.      Vamos por partes:


                                          *CALCULO DO NUMERO TOTAL DE 
INTEIROS COM ATE N ALGARISMOS:

            Primeiro se tem que estabelecer o valor do maior inteiro de n 
algarismos, que é claramente um numero formado apenas pelo algarismo 9 .Voce 
pode representa-lo graficamente assim:  (9.......9)_[n] , onde n representa 
o numero de algarismos do numero.O segundo passo é estabelecer o menor 
numero de 1 algarismo que é o proprio 1.
            Com isso em mente voce pode observar que o numero que voce 
procura é o proprio (9.......9)_[n]. Mas certamente o problema exige uma 
resposta "fechada".
           Voce pode calcular (9.......9)_[n] da seguinte maneira: veja que  
1 + (9.......9)_[n]  sera igual a um numero na forma (1000.......000)_[n +1] 
  , ou seja, sera igual a um numero com um unico algarismo 1 na extremidade 
esquerda com n zeros sucessivos.
                  Entao  (1000.......000)_[n + 1] = 10^n.O numero procurado 
é (9.......9)_[n] = (1000.......000)_[n+1] - 1.

                                                    O numero procurado 
é:(9.......9)_[n] = (10^n) - 1.


                            *NUMERO DE ALGARISMOS USADOS NA ESCRITA DOS 
INTEIROS COM ATE N ALGARISMOS:


          (Esse é mais interessante)     Observe que o maior numero de n 
algarismos é (9.......9)_[n] = (10^n) - 1 , e que o menor numero de um 
algarismo é o proprio 1.

                Entao o numero de algarismos usados na escrita dos inteiros  
de 1  a  (10^n) -1 esta para :

                          
1.(9-0)+2.(99-9)+3.(999-99)+.............+n.((10^[n]  - 1)-(10^[n-1]  -1)) = 
S_n

       Observe que existem  9 inteiros positivos com 1 algarismo, assim como 
existem 90 inteiros com 2 algarismos, assim como existem 900 inteiros com 3 
e assim sucessivamente.Dai se estende o raciocinio pra calcular o numero de 
algarismos usados na escrita dos inteiros  de 1  a  (10^n) -1 .

               1.9 + 2.90 +3.900 +.......................+ n.(10^[n]  -  
10^[n-1]) = S_n      Nós chegamos a uma progressao aritimetico- 
geometrico.Vamos desenvolve-la:

                                                               S_n = 9.(1.1 
+ 2.10 + 3.100 +...............+ n.10^[n-1]).

          Veja o que imaginei :(1+10+......+10^[n-1])  + 
(10+100+......+10^[n-1])+.........+(10^[n-2] +10^[n-1])+
   + (10^[n-1]) = X , Nessa soma o numero 1 aparece uma vez,o 10 aparece 
duas o 100 tres,............,o 10^[n-1] aparece n vezes.Entao X = (S_n)/9    
  que beleza!!!!!! Entao aplicando a formula de PG teremos:

               (1+10+......+10^[n-1]) = (10^0).(10^n   -  1)/9    ,    
(10+100+......+10^[n-1])=(10^1).(10^[n-1]    -  1)/9

  (10^[n-2]  +  10^[n-1]) = (10^[n-2]).(10^2   -  1)/9         ,         
(10^[n-1]) = (10^[n-1]).(10  -  1)/9.


                                    Somando tudo , S_n sera igual a 
:(10^0).(10^n  - 1) + (10^1).(10^[n-1] - 1) + ..................+

......+ (10^[n-2]).(10^2   -  1)  +  (10^[n-1]).(10  -1) = (n.10^n)  -  
(10^0 + 10^1 +..........+10^[n-1])  = S_n.

                                           S_n = {(10^n).(9.n - 1)  +1}/9

                     O numero de algarismos usados na escrita dos inteiros  
de 1  a  (10^n) -1:{(10^n).(9.n - 1)  +1}/9.



                        2-) PROBLEMA---------------
                                                                      EU NAO 
FIZ ESSE!!!!


                De qualquer maneira, o primeiro ta respondido.



                                                                      Até 
mais...
                                                                             
                                         Felipe Mendonça,,,Vitória-ES.

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