[obm-l] Re: [obm-l] A outra diagonal do triângulo de Pascal

["Gustavo Vasconcelos" <gvduarte@xxxxxxxxxxxxxx>]

Nao percebi o que vc chama de diagonal ao contrario??
----- Original Message -----
From: Carlos Yuzo Shine <cyshine@yahoo.com>
To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
Sent: Saturday, May 10, 2003 3:52 PM
Subject: [obm-l] A outra diagonal do triângulo de Pascal


> Olá,
>
> Hoje, numa aula de preparação, os alunos e o Edmilson
> provaram um fato interessante (já conhecido): a soma
> da diagonal "ao contrário" do triângulo de Pascal dá
> Fibonacci.
>
> Só relembrando: o triângulo de Pascal é formado pelos
> binomiais.
>
> 1
> 1 1
> 1 2 1
> 1 3 3 1
> 1 4 6 4 1
>
> As "diagonais ao contrário" são: 1; 1; 1 1; 1 2; 1 3
> 1; 1 4 3;... Observe que as somas são 1; 1; 2; 3; 5;
> 8;... que coincide com a seqüência de Fibonacci.
>
> Colocando de modo algébrico:
> Soma{k=0 a n}binom(n-k,k) = F(n+1),
> em que F(0) = 0, F(1) = 1 e F(m+2) = F(m+1) + F(m).
>
> Mas o que foi mais interessante foi a demonstração
> dada hoje, que é uma contagem dupla que nem eu nem o
> Edmilson vimos em nenhum livro.
>
> É conhecido que o número de maneiras de se guardar
> dominós 2 x 1 em uma caixinha 2 x n é igual a F(n+1).
> Isso pode ser demonstrado utilizando o fato de que o
> número de maneiras de se preencher uma caixinha 2 x
> (n+2) é o número de maneiras de se preencher uma
> caixinha 2 x (n+1) (no caso em que no final da
> caixinha 2 x (n+2) há um dominó na vertical) somado ao
> número de maneiras de se preencher uma caixinha 2 x n
> (no caso em que no final da caixinha 2 x (n+2) há um
> par de dominós na posição horizontal).
>
> Mas podemos contar esse número "na raça": se temos k
> pares de dominós na posição horizontal, temos n-2k
> dominós na vertical. O número de maneiras de se
> ordenar os dominós nessas posições é igual ao número
> de anagramas com k H's e n-2k V's que é binom(n-k,k).
> Somando tudo com k variando de 0 a n, obtemos Soma{k=0
> a n}binom(n-k,k).
>
> Assim, tal soma é igual a F(n+1).
>
> []'s
> Shine
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