[obm-l] Re: [obm-l] A outra diagonal do tri�ngulo de Pascal

["Gustavo Vasconcelos" <gvduarte@xxxxxxxxxxxxxx>]

Nao percebi o que vc chama de diagonal ao contrario??
----- Original Message -----
From: Carlos Yuzo Shine <cyshine@yahoo.com>
To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
Sent: Saturday, May 10, 2003 3:52 PM
Subject: [obm-l] A outra diagonal do tri�ngulo de Pascal


> Ol�,
>
> Hoje, numa aula de prepara��o, os alunos e o Edmilson
> provaram um fato interessante (j� conhecido): a soma
> da diagonal "ao contr�rio" do tri�ngulo de Pascal d�
> Fibonacci.
>
> S� relembrando: o tri�ngulo de Pascal � formado pelos
> binomiais.
>
> 1
> 1 1
> 1 2 1
> 1 3 3 1
> 1 4 6 4 1
>
> As "diagonais ao contr�rio" s�o: 1; 1; 1 1; 1 2; 1 3
> 1; 1 4 3;... Observe que as somas s�o 1; 1; 2; 3; 5;
> 8;... que coincide com a seq��ncia de Fibonacci.
>
> Colocando de modo alg�brico:
> Soma{k=0 a n}binom(n-k,k) = F(n+1),
> em que F(0) = 0, F(1) = 1 e F(m+2) = F(m+1) + F(m).
>
> Mas o que foi mais interessante foi a demonstra��o
> dada hoje, que � uma contagem dupla que nem eu nem o
> Edmilson vimos em nenhum livro.
>
> � conhecido que o n�mero de maneiras de se guardar
> domin�s 2 x 1 em uma caixinha 2 x n � igual a F(n+1).
> Isso pode ser demonstrado utilizando o fato de que o
> n�mero de maneiras de se preencher uma caixinha 2 x
> (n+2) � o n�mero de maneiras de se preencher uma
> caixinha 2 x (n+1) (no caso em que no final da
> caixinha 2 x (n+2) h� um domin� na vertical) somado ao
> n�mero de maneiras de se preencher uma caixinha 2 x n
> (no caso em que no final da caixinha 2 x (n+2) h� um
> par de domin�s na posi��o horizontal).
>
> Mas podemos contar esse n�mero "na ra�a": se temos k
> pares de domin�s na posi��o horizontal, temos n-2k
> domin�s na vertical. O n�mero de maneiras de se
> ordenar os domin�s nessas posi��es � igual ao n�mero
> de anagramas com k H's e n-2k V's que � binom(n-k,k).
> Somando tudo com k variando de 0 a n, obtemos Soma{k=0
> a n}binom(n-k,k).
>
> Assim, tal soma � igual a F(n+1).
>
> []'s
> Shine
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