Re: [obm-l] Pedras no sapatos

[Claudio Buffara <claudio.buffara@xxxxxxxxxxxx>]

Title: Re: [obm-l] Pedras no sapatos

on 09.05.03 00:22, Igor Correia Oliveira at basketboy_igor@bol.com.br wrote:

> Olá,
> Estou com algumas "pedras no sapato". Se alguém puder "tirar algumas" dessas "pedras", serei grato.
> Vamos às "pedras"!
>  
> 1°) É possível provar se P - 1 = (2^x)*(3^x), sendo P e x naturais, então P é obrigatoriamene um número primo?
>
> 2°) Cosidere todas as funções f de N em N, onde N é o conjunto de todos os inteiros positivos que satisfazem f((T²)*f(S))=S*(f(T))², para quaisquer S e T em N. Determine o menor valor possível para f(1998).
>  
> 3°) Seja I o incentro do triângulo ABC. Sejam K, L, M os pontos onde o círculo inscrito em ABC toca os lados BC, CA e AB, respectivamente.  A reta paralela à MK passando por B encontra as retas LM e LK em R e S, respectivamente. Mostre que o ângulo RIS é agudo.
>  
> 4°) Determine todos os pare (a,b) de inteiros positivos tais que ab² + b + 7 divide a²b + a + b.
>  
> 5°) Provar a igualdade:
> sen(1°) + sen(2°) + sen(3°) + ... + sen(179°) + sen(180°) =ctg(30°)
>  
> Igor Correia Oliveira,
> #Mathematics
>  
> "O começo é a parte mais importante do trabalho". - Platão 
>
> *****
>
> Oi, Igor:
>
> No 2 eu imagino que a equacao funcional seja f(T^2*f(S)) = S*(f(T))^2 e no 4 que as expressoes sejam:
>  ab^2 + b + 7  e  a^2b + a + b.  
>
> No meu computador os seus expoentes aparecem como asteriscos. 
> Assim, se for possivel, por favor escreva "a ao quadrado" como "a^2".
>
> De qualquer forma, voce encontrara solucoes para estes dois problemas aqui (ambos sao da IMO-1998):
>
> http://www.kalva.demon.co.uk/imo/imo98.html
>
> Alias, este eh um dos melhores sites sobre olimpiadas de matematica, com problemas e solucoes de diversas olimpiadas de varios paises alem da IMO.
>
> *****
>
> O enunciado do no. 5 estah errado, pois todos os senos sao positivos (com excessao de sen(180) que eh 0).
>
> Assim, sen(1) + ... + sen(179) > sen(60) + sen(61) + sen(62) > 3*sen(60) = 3*raiz(3)/2
>
> Por outro lado, ctg(30) = raiz(3).
>
>
> Um abraco,
> Claudio.