[obm-l] Re: [obm-l] divisores (correção dos expoentes)

["Marcelo Rufino de Oliveira" <marcelo_rufino@xxxxxxxxxxx>]

Os expoentes não sairam como deveriam. Abaixo está correto: (z^n siginifica
z elevado a n)


Bem, aí vão as contas. Vou tentar explicar ao máximo meu pensamentos:

 Devemos determinar um número n da forma  n = p1^a1.p2^a2.pr^ar < 1992, que
 implica que o número de divisores positivos é igual a d(n) = (a1 + 1)(a2 +
1)...(ar + 1), que deve ter o maior valor possível.

 Como 2.3.5.7.11 = 2310 >1992, então o nosso número possui menos de 5
fatores
 primos.

 Evidentemente vamos trabalhar com os menores primos, uma vez que o número
de
 divisores não depende dos primos, somente dos expoentes, e para
maximizarmos
 os expoentes (e não passar de 1992) teremos que minimizar os primos. Assim,
 vamos trabalhar somente com os primos 2, 3, 5 e 7.

 Observemos que:  44^2 = 1936 < 1992 < 2025 = 45^2

 Sendo  2.3.5 < 44  e  2.3.5.7 > 44, então um candidato a número com maior
 números de divisores é  n = 2^2.3^2.5^2 = 900

 Como 2n = 2.900 = 1800 < 1992, então podemos maximizar d(x) fazendo  x =
 2^3.3^2.5^2 = 1800   =>   d(x) = (1 + 3)(1 + 2)(1 + 2) = 36

 Tentemos determinar outros números < 1992 com número de divisores maiores
ou
 iguais de 36. Para isto vamos variar os expoentes dos primos 2, 3, 5 e 7 na
 fatoração de n.

  i) n = 2^5.3^2.5 =1440   =>   d(n) = (1 + 5)(1 + 2)(1 + 1) = 36

  ii) n = 2^2.3^2.5.7 = 1260   =>   d(n) = (1 + 2)(1 + 2)(1 + 1)(1 + 1) = 36

 iii) n = 2^4.3.5.7 = 1680   =>   d(n) = (1 + 4)(1 + 1)(1 + 1)(1 + 1) = 40

 Qualquer outra configuração de expoentes em 2, 3, 5 e 7 acabou provocando
um
 número de divisores menor que 36 ou um número n maior que 1992 (acho que
não
 esqueci ninguém)

 Não sei se esta solução seria aceita como completa por uma banca corretora.
 Acho que falta provar que qualquer número com mais de 40 divisores
positivos
 é maior que 1992.



 Até mais,

 Marcelo Rufino de Oliveira



> ----- Original Message -----
> From: "Rafael" <matduvidas@yahoo.com.br>
> To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
> Sent: Wednesday, May 07, 2003 9:12 PM
> Subject: Re: [obm-l] divisores
>
>
> > Posso saber que contas são essas que você fez??? Eu
> > precisava da resolução...
> >
> > Abraços,
> >
> > Rafael.
> >
> >  --- Marcelo Rufino de Oliveira
> > <marcelo_rufino@hotmail.com> escreveu: > Fazendo
> > algumas contas eu encontrei que 1680 é o que
> > > possui o maior número
> > > de divisores positivos (40 no total). Alguns números
> > > possuem 36 divisores
> > > positivos (1800, 1440, 1260), mas não encontrei
> > > nenhum que possui mais de 40
> > > divisores.
> > > Para fazer uma solução completa acho que basta
> > > provar que não existe nenhum
> > > número menor que 1992 que possua mais de 40
> > > divisores positivos.
> > >
> > > Até mais,
> > > Marcelo Rufino de Oliveira
> > >
> > > ----- Original Message -----
> > > From: "Rafael" <matduvidas@yahoo.com.br>
> > > To: "OBM" <obm-l@mat.puc-rio.br>
> > > Sent: Wednesday, May 07, 2003 7:25 PM
> > > Subject: [obm-l] divisores
> > >
> > >
> > > > Esse eu não estou conseguindo escrever nada
> > > produtivo:
> > > > Dentre os números 1,2,3,4,5,...., 1992, a soma dos
> > > > algarismos daquele que possui o maior número de
> > > > divisores positivos é: (333/61)
> > > > a) 12
> > > > b) 13
> > > > c) 14
> > > > d) 15
> > > > e) 16
> > > >
> > > > Abraços,
> > > >
> > > > Rafael.
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