Re: [obm-l] divisores

["Marcelo Rufino de Oliveira" <marcelo_rufino@xxxxxxxxxxx>]

 Bem, aí vão as contas. Vou tenat explicar ao máximo meu pensamento:

Devemos determinar um número n da forma  n = p1a1.p2a2.prar < 1992, que
implica que o número de divisores positivos é igual a d(n) = (a1 + 1)(a2 +
1)...(ar + 1), que deve ter o maior valores possível.

Como 2.3.5.7.11 = 2310 >1992, então o nosso número possui menos de 5 fatores
primos.

Evidentemente vamos trabalhar com os menores primos, uma vez que o número de
divisores não depende dos primos, somente dos expoentes, e para maximizarmos
os expoentes (e não passar de 1992) teremos que minimizar os primos. Assim,
vamos trabalhar somente com os primos 2, 3, 5 e 7.

Observemos que:  442 = 1936 < 1992 < 2025 = 452

Sendo  2.3.5 < 44  e  2.3.5.7 > 44, então um candidato a número com maior
números de divisores é  n = 22.32.52 = 900

Como 2n = 2.900 = 1800 < 1992, então podemos maximizar d(x) fazendo  x =
23.32.52 = 1800   Þ   d(x) = (1 + 3)(1 + 2)(1 + 2) = 36

Tentemos determinar outros números < 1992 com número de divisores maiores ou
iguais de 36. Para isto vamos variar os expoentes dos primos 2, 3, 5 e 7 na
fatoração de n.

  i) n = 25.32.5 =1440   Þ   d(n) = (1 + 5)(1 + 2)(1 + 1) = 36

 ii) n = 22.32.5.7 = 1260   Þ   d(n) = (1 + 2)(1 + 2)(1 + 1)(1 + 1) = 36

iii) n = 24.3.5.7 = 1680   Þ   d(n) = (1 + 4)(1 + 1)(1 + 1)(1 + 1) = 40

Qualquer outra configuração de expoentes em 2, 3, 5 e 7 acabou provocando um
número de divisores menor que 36 ou um número n maior que 1992 (acho que não
esqueci ninguém)

Não sei se esta solução seria aceita como completa por uma banca corretora.
Acho que falta provar que qualquer número com mais de 40 divisores positivos
é maior que 1992.



Até mais,

Marcelo Rufino de Oliveira



----- Original Message -----
From: "Rafael" <matduvidas@yahoo.com.br>
To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
Sent: Wednesday, May 07, 2003 9:12 PM
Subject: Re: [obm-l] divisores


> Posso saber que contas são essas que você fez??? Eu
> precisava da resolução...
>
> Abraços,
>
> Rafael.
>
>  --- Marcelo Rufino de Oliveira
> <marcelo_rufino@hotmail.com> escreveu: > Fazendo
> algumas contas eu encontrei que 1680 é o que
> > possui o maior número
> > de divisores positivos (40 no total). Alguns números
> > possuem 36 divisores
> > positivos (1800, 1440, 1260), mas não encontrei
> > nenhum que possui mais de 40
> > divisores.
> > Para fazer uma solução completa acho que basta
> > provar que não existe nenhum
> > número menor que 1992 que possua mais de 40
> > divisores positivos.
> >
> > Até mais,
> > Marcelo Rufino de Oliveira
> >
> > ----- Original Message -----
> > From: "Rafael" <matduvidas@yahoo.com.br>
> > To: "OBM" <obm-l@mat.puc-rio.br>
> > Sent: Wednesday, May 07, 2003 7:25 PM
> > Subject: [obm-l] divisores
> >
> >
> > > Esse eu não estou conseguindo escrever nada
> > produtivo:
> > > Dentre os números 1,2,3,4,5,...., 1992, a soma dos
> > > algarismos daquele que possui o maior número de
> > > divisores positivos é: (333/61)
> > > a) 12
> > > b) 13
> > > c) 14
> > > d) 15
> > > e) 16
> > >
> > > Abraços,
> > >
> > > Rafael.
>
> _______________________________________________________________________
> Yahoo! Mail
> O melhor e-mail gratuito da internet: 6MB de espaço, antivírus, acesso
POP3, filtro contra spam.
> http://br.mail.yahoo.com/
> =========================================================================
> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
> =========================================================================
>
=========================================================================
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=========================================================================