[obm-l] Re: [obm-l] Crianças e doces roubados

["Domingos Jr." <dopikas@xxxxxxxxxx>]

>    Caro Domingos,
>    Eu acho que ha' um problema na sua solucao: voce conta os subconjuntos
de
> Z/pZ x Z/pZ cujo numero de elementos nao e' multiplo de p e divide por
> p^2-1, mas o numero de elementos dos conjuntos nao tem a ver com o
problema,
> e sim a soma dos elementos do conjunto.

não é bem isso que eu fiz....
eu mostro simplesmente uma bijeção de conjuntos de elementos com n elementos
com n != 0 mod p, com soma (i, j) e conjuntos de n elementos com soma (k,
l)...

 Voce pode notar que sua resposta ja'
> nao esta' certa para p=2 nem para p=3. Por outro lado seu argumento que
> mostra que os T(i,j) para (i,j) diferente de (0,0) sao todos iguais esta'
> certo, e permite calcular esses T(i,j) em funcao de T(0,0):
> T(i,j)=(2^(p^2)-T(0,0))/(p^2-1), se (i,j) nao e' (0,0).

eu acho que descartando o meu erro no final --- onde considero todo conjunto
de p elementos com soma (0, 0), sei lá o que aconteceu na hora de resolver o
problema, acho que me confundi com o fato da característica de Zp ser p e
acabei escrevendo besteira --- falta ainda provar que T(i, 0) = T(k, l) para
quaisquer elementos i, k, l não nulos...

>    A resposta correta e' 4, para p=2 e ((p^2-1).2^p+2^(p^2))/p^2, para
p>=3.
> A solucao que eu fiz na prova foi a seguinte: Considere
> f(x,y)=produto(1<=i,j<=p)(1+x^i.y^j). Podemos associar a cada subconjunto
de
> Z/pZ x Z/pZ um termo no desenvolvimento desse produto, e estamos
> interessados nos termos nos quais os expoentes (depois de multiplicar) de
x
> e de y sao ambos multiplos de p. Para contar o numero desses termos,
fazemos
> o seguinte: sendo w=e^(2.Pi.i/p) uma raiz p-esima da unidade, somamos
> f(w^r,w^s) com r e s variando entre 1 e p. Isso mata todos os termos do
tipo
> x^a.y^b onde a ou b nao e' multiplo de p, e os termos onde a e b sao
> multiplos de p sao contados p^2 vezes. Essa soma e'
> Soma(1<=r,s<=p)(Produto(1<=i,j<=p)(1+w^(ri+sj))).
>    Se (r,s) nao e' igual a (p,p), quando i e j variam entre 1 e p, ri+sj
> assume cada valor (modulo p) p vezes, donde
> Produto(1<=i,j<=p)(1+w^(ri+sj))=(Produto(1<=k<=p)(1+w^k))^p=
> =(-1)^p^2.(Produto(1<=k<=p)(-1-w^k))^p=(-1)^p^2.((-1)^p-1)^p (pois
> x^p-1=Produto(x-w^k)), que e' 0 se p=2 e 2^p se p>=3. Por outro lado, se
> (r,s)=(p,p), nosso produto e' 2^(p^2).
> Assim, nossa soma, que e' p^2 vezes o resultado que queremos, vale
> 2^(p^2)=16, se p=2 e (p^2-1).2^p+2^(p^2), se p>=3, o que prova a nossa
> afirmacao.
>    Abracos,
>             Gugu

Legal!!! MUITO BOA...

Agora me ajude a arrumar a minha solução, falta pouco... ignore o ps/pdf da
página e veja a mensagem que mandei para o Johann, "Re: [obm-l] Como se faz
um PS como esse?"...

btw, acabei de notar um erro idiota nessa outra mensagem, onde está:
"...todo elemento nulo tem inversa..."
é evidente que deveria estar:
"...todo elemento NÃO-nulo tem inversa..."

[ ]'s

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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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