[obm-l] Probabilidades!

[Helder Suzuki <heldersuzuki@xxxxxxxxxxxx>]

Olá pessoal!

Nos últimos dias me deparei com duas questões de
probabilidade, e gostaria de saber se minhas soluções
estão corretas.

------

Questão 1 (essa eu achei em um problema de olimpíada
de informática):

Em um show de auditório, o participante pode escolher
uma porta fechada entre as (m+n) portas fechadas, onde
1<=m portas contém um cara vestido de monstro e 1<=n
portas contém um carro.
O participante escolhe uma porta, e pra dar mais
audiência o apresentador abre 0<=k<m portas que têm
monstros, libertando-os.
Então o apresentador dá a chance pro participante de
escolher outra porta ou continuar com a que ele
estava. O participante imediatamente escolhe outra
porta e ganha o que tem atrás dela.
Qual a probabilidade do participante ganhar um carro?


*** Solução ***
Eu pensei assim, existem dois casos possíveis para o
participante ganhar o carro:

(i)
Primeiro ele escolhe um monstro, depois escolhe um
carro.
Ele escolhe uma porta com monstro, a chance é m /(m+n)
O apresentador abre as k portas e
o cara escolhe uma porta com carro, a chance é n /
(m+n-k-1)

A chance disso tudo acontecer é mn / [(m+n)(m+n-k-1)]

(ii)
Primeiro ele escolhe um carro, depois escolhe outro
carro(se tiver mais que um carro)
Ele escolhe uma porta com carro: n / (m+n)
O apresentador abre as k portas.
Ele escolhe outra porta com carro (n-1) / (m+n-k-1)

A chance disso tudo acontecer é n(n-1) /
[(m+n)(m+n-k-1)]

Somando os dois casos possíveis, o participante
tem p = n(m+n-1)/[(m+n)(m+n-k-1)] chance de ganhar um
carro.

-------

Questão 2 (essa um colega da aula de olimpíada me
passou):

(não era bem assim o enunciado, mas no fundo é a mesma
coisa)
Se temos um saquinho com infinitas moedas iguais, cada
uma com p chance de cair cara e, claro, 1-p chance de
cair coroa. O chão também é infinito.
Um jogo consiste em pegar uma moeda e jogá-la para o
ar e deixá-la cair no chão (uma moeda nunca cai em
cima de outra moeda).
O jogo acaba quando, no chão, o número de resultados
cara é igual o número de resultados coroa.
Qual a probabilidade do jogo acabar?

*** Solução ***

Qualquer que seja a quantidade de moedas que jogamos,
o jogo só pode acabar quando há um número par de
moedas no chão.
Ou seja, cada vez que o número de moedas no chão é
par, o jogo corre o risco de acabar.

Se jogamos 2 moedas, a chance do jogo acabar é
p*(1-p), pois precisamos de 1 cara e 1 coroa.
Se jogamos 4 moedas, a chance do jogo acabar é
p*p*(1-p)*(1-p), primeiro cai 2 caras e depois 2
coroas, ou vice-versa(senão o jogo acaba com 2 moedas,
cuja chance já foi calculada). a chance é [p(1-p)]^2
...
...
na (2n)-ésima moeda que jogamos, a chance do jogo
acabar é [p(1-p)]^n (note que por causa da propriedade
comutativa da multiplicação, a ordem das moedas não
importa)

a probabilidade do jogo acabar quando jogamos 2n
moedas é:
P = p(1-p) + [p(1-p)]^2 + [p(1-p)]^3 + ... +
[p(1-p)]^n
o que é a soma de uma pg de razão p(1-p), mas como n é
infinito:

P = p(1-p)/[1 - p(1-p)] =>

P = p(1-p)/(p^2 - p + 1)

------

Grato pela atenção, abraços,
Helder Toshiro Suzuki


_______________________________________________________________________
Yahoo! Mail
O melhor e-mail gratuito da internet: 6MB de espaço, antivírus, acesso POP3, filtro contra spam. 
http://br.mail.yahoo.com/
=========================================================================
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=========================================================================