Re: [obm-l] Desigualdades

["Marcio" <marciocohen@xxxxxxxxxxxxxx>]

    A desigualdade vale mesmo para v negativo, e eu tmb ainda nao entendi a
solucao do Fabio...
    Escreva x=v+a, y=v+a+b, z=v+a+b+c, com a,b,c positivos.
Entao, a desigualdade eh equivalente :
    (4v + 3a + 2b + c)^2 > 8( v(v+a+b) + (a+v)(v+a+b+c) )
    Agora note que o termo em v^2 eh cancelado nessa desigualdade.
    Repare que o termo em v também é cancelado, pois em ambos os lados ele
vale 8v(3a+2b+c).
    Portanto, a desigualdade inicial eh verdadeira se e somente se, para
todos a,b,c positivos tivermos o termos independente de v do LE maior que o
correspondente no LD, i.e, se dados a,b,c positivos, for sempre verdadeiro
que:
    (3a+2b+c)^2 > 8a(a+b+c)
sse   a^2 + 2(2b-c)a + (2b+c)^2 > 0
   Mas isso eh verdadeiro, pois:
a^2 + 2(2b-c)a + (2b+c)^2 = a^2 + 2(2b-c)a + (2b-c)^2 + 8bc > [a - (2b-c)]^2
> 0.

Em particular, a desigualdade soh eh verdadeira no caso em que o produto bc
eh positivo (que nao precisa ser verdadeiro se nao tivermos a condicao
inicial v<x<y<z).

Quanto ao problema das sequencias (provar q eh constante),  vi num site da
internet a sua (Claudio) solucao para o problema.. Realmente legal, jamais
pensaria em algo parecido.. Fiquei feliz de ver que ao menos o inicio da
solucao eh parecido com o que eu tinha feito :) Continuo tentando fazer uma
solucao alternativa (esse problema esta rodando em background na minha
cabeca, enquanto penso em outros :)) Se eu conseguir algo aviso.

    Marcio

----- Original Message -----
From: "Claudio Buffara" <claudio.buffara@terra.com.br>
To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
Sent: Tuesday, April 29, 2003 7:36 PM
Subject: Re: [obm-l] Desigualdades


> Oi, Fabio:
>
> Desculpe a amolacao, mas eh que este problema estah me parecendo bem mais
> dificil do que eu imaginava inicialmente.
>
> Veja meus cometarios abaixo.
>
> Um abraco,
> Claudio.
>
> on 29.04.03 10:38, Fábio Dias Moreira at fabio.dias.moreira@terra.com.br
> wrote:
>
> > -----BEGIN PGP SIGNED MESSAGE-----
> > Hash: SHA1
> >
> > On Tuesday 29 April 2003 00:30, Claudio Buffara wrote:
> >> on 28.04.03 23:01, Fábio Dias Moreira at
fabio.dias.moreira@terra.com.br
> >>
> >> wrote:
> >>> On Monday 28 April 2003 22:32, Raphael Marx wrote:
> >>>> Olá a todos. Gostaria de pedir uma ajudinha em desigualdades:
> >>>> 1-Prove que se v<x<y<z, então
> >>>> (v+x+y+z)^2>8(vy+xz)
> >>>> [...]
> >>>

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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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