Re: [obm-l] Desigualdades

[Claudio Buffara <claudio.buffara@xxxxxxxxxxxx>]

Oi, Fabio:

Desculpe a amolacao, mas eh que este problema estah me parecendo bem mais
dificil do que eu imaginava inicialmente.

Veja meus cometarios abaixo.

Um abraco,
Claudio.

on 29.04.03 10:38, Fábio Dias Moreira at fabio.dias.moreira@terra.com.br
wrote:

> -----BEGIN PGP SIGNED MESSAGE-----
> Hash: SHA1
> 
> On Tuesday 29 April 2003 00:30, Claudio Buffara wrote:
>> on 28.04.03 23:01, Fábio Dias Moreira at fabio.dias.moreira@terra.com.br
>> 
>> wrote:
>>> -----BEGIN PGP SIGNED MESSAGE-----
>>> Hash: SHA1
>>> 
>>> On Monday 28 April 2003 22:32, Raphael Marx wrote:
>>>> Olá a todos. Gostaria de pedir uma ajudinha em desigualdades:
>>>> 1-Prove que se v<x<y<z, então
>>>> (v+x+y+z)^2>8(vy+xz)
>>>> [...]
>>> 
>>> Divida por 16:
>>> 
>>> ((v+x+y+z)/4)^2 > (vy+xz)/2 > sqrt(xyzv)
>>> (v+x+y+z)/4 > (xyzv)^(1/4)
>>> 
>>> verdadeiro por MA-MG.
>>> 
>>> []s,
>> 
>> Oi, Fabio (e Raphael):
>> 
>> MA-MG soh pode ser usada se v > 0, o que nao estah dito no enunciado.
>> [...]
> 
> Mas acho que isso é necessário. Se v=-1, x=0, y=1/4 e z=3/4, temos que
> 0^2 > 8*(-1*0 + 1/4*3/4) <==> 3/2 < 0.
> 
Na verdade, com a sua escolha de v, x, y, z, o lado direito fica:
8*(vy+xz) = 8*((-1)*1/4 + 0*3/4) = -2, que eh de fato  < 0, de forma que
este contra-exemplo nao vale.

>> Alem disso, acho que tem um probleminha na logica:
>> 

>> Supondo v > 0, ((v+x+y+z)/4)^2 > raiz(xyzv) e (vy+xz)/2 > raiz(xyzv) sao
>> ambas verdadeiras, mas isso nao implica necessariamente que:
>> ((v+x+y+z)/4)^2 > raiz(xyzv).
>> [...]

Eu escrevi besteira na ultima linha. O que eu queria ter dito eh:
Supondo v > 0, ((v+x+y+z)/4)^2 > raiz(xyzv) e (vy+xz)/2 > raiz(xyzv) sao
ambas verdadeiras, mas isso nao implica necessariamente que:
((v+x+y+z)/4)^2 > (vy + xz)/2.

Ou seja, eu posso estar enganado, mas me pareceu que sua afirmativa foi:
Se A > C e B > C entao A > B, o que nao eh uma inferencia valida.

> A afirmação que usei foi:
> 
> ((v+x+y+z)/4)^2 > (vy+xz)/2 e (vy+xz)/2 > raiz(xyzv), logo
> ((v+x+y+z)/4)^2 > raiz(xyzv), verdadeiro por transitividade.
> 

Como voce provou que ((v+x+y+z)/4)^2 > (vy+xz)/2 ?

Usando MA-MG (o que so vale se v > 0), eu chego em:
((v+x+y+z)/4)^2 = (((v+y)/2 + (x+z)/2)/2)^2 > ((raiz(vy) + raiz(xz))/2)^2 =
= (vy + xz + 2*raiz(vyxz))/4 = (vy + xz)/4 + raiz(vyxz)/2

So que como (vy+xz)/2 > raiz(xyzv), nao da pra concluir o que queremos.

Estou convencido de que a condicao v < x < y < z entra na demonstracao em
algum ponto e minha aposta ainda eh na desigualdade do rearranjo.

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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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