[obm-l] Re: [obm-l] 3 circunferências

["Cláudio \(Prática\)" <claudio@xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx>]

----- Original Message -----
From: "Rafael" <matduvidas@yahoo.com.br>
To: "OBM" <obm-l@mat.puc-rio.br>
Sent: Monday, April 28, 2003 3:31 PM
Subject: [obm-l] 3 circunferências


> Olá pessoal!
>
> Será que alguém consegue me dar uma ajuda nessa
> questão:
>
> Três circunferência de raios r , r' e R são tangentes,
> duas a duas, externamente. A tangente comun interna às
> duas primeiras circunferências intercepta a
> circunferência de raio R nos pontos A e B. Calcular a
> corda AB.
>
> resp: (4R raiz(rr')/(r + r')
>

Oi, Rafael:

Como geometria não é o meu forte, aqui vai uma solução horrorosa, usando
geometria analítica:

Circunferencia de raio r: Centro em (-r,0):
(x+r)^2 + y^2 = r^2

Circunferencia de raio r': Centro em (r',0):
(x-r')^2 + y^2 = r'^2

Equação da reta tangente comum interna:
x = 0 (a tangente é o eixo y).

Equação da circunferência de raio R:
(x-a)^2 + (y-b)^2 = R^2
(a,b): coordenadas do centro (a determinar)

Como as circunferências são tangentes, temos que a distância entre os
centros é igual à soma dos raios:
(a+r)^2 + b^2 = (R+r)^2
(a-r')^2 + b^2 = (R+r')^2

Subtraindo e simplificando, obtemos:
a = R(r - r')/(r + r')

Para achra b, vou calcular de 2 formas a área do triangulo formado pelos 3
centros:
(r+r')*|b|/2 = raiz((r+r'+R)*R*r*r') (formula de Heron)  ==>
b = + ou - 2*raiz((r+r'+R)*R*r*r')/(r+r')

Ou seja, a equação da 3a. circunferência é (supondo s.p.d.g. que b > 0):
(x - R(r-r')/(r+r'))^2 + (y - 2*raiz((r+r'+R)*R*r*r')/(r+r'))^2 = R^2

Fazendo x = 0, teremos as ordenadas dos dois pontos de interseção:
(y - 2*raiz((r+r'+R)*R*r*r')/(r+r'))^2 = R^2 - R^2(r-r')^2/(r+r')^2 ==>
(y - 2*raiz((r+r'+R)*R*r*r')/(r+r'))^2 = 4*R^2*r*r'/(r+r')^2 ==>
y = 2*raiz((r+r'+R)*R*r*r')/(r+r') +ou- 2*R*raiz(r*r')/(r+r')

Subtraindo os dois valores de y, obtemos o comprimento de AB:
m(AB) = 4*R*raiz(r*r')/(r+r')


Um abraço,
Claudio.


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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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