Uma equacao diofantina bonitinha:
Prove que x^2 + (x+1)^2 = y^3 nao tem solucao em
inteiros positivos.
Com relação ao problema acima ai vai uma tentativa:
Admita que a equação tem solução em inteiros
positivos. Neste caso, você conclui que y só pode ser
um número impar (pois se x é par, x^2 é par, x+1 é
impar e (x+1)^2 é impar e a soma de um numero par com
um impar é impar; analogamente, se x for impar,
conclui-se que y é impar).
Bom então y é da forma 2n+1, onde n é inteiro (o caso
em que n é 1 é facilmente verificado substituindo y
por 1 donde resulta que x ou é 0 ou -1).
Substituindo na expressão , vem
x^2 + x^2+2x+1=2n+1 --> 2x^2 + 2x - 2n = 0 -->
x^2 + x - n = 0 --> x = raiz(1+4n)/2.
Ora, mas o resultado acima não é inteiro. Se fosse,
x^2=(1+4n)/2 tambem seria, o que é um absurdo.
Logo, o fato de considerarmos que a equação possui
solução em inteiros positivos gerou uma contradição.
Assim, a equação não possui solução em inteiros
positivos.
Dá uma olhada, se tiver algum erro me diz.
[]'s Marcos
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