RE: [obm-l] Provar continuidade

["Artur Costa Steiner" <artur_steiner@xxxxxxx>]

>Sent: Saturday, April 26, 2003 1:33 PM
>To: obm-l@mat.puc-rio.br
>Subject: [obm-l] Provar continuidade
>
>Ola pessoal... este problema esta no meu livro mas nao tem
>resposta...gostaria que o pessoal conferisse se procedi corretamente.
>Muito obrigado.
>
>provar que f(x) = (x)^(1/n)  é continua.
>
>Demonstraçao :
>Dado Eps > 0 existe um intervalo aberto I , p pertencente a I , tal que
>
>x pertence a I => f(p) - Eps < f(x) < f(p) + Eps
[Artur Costa Steiner] 
Ei!! Isto eh a definicao de continuidade em p! Eh justamente o que vc quer
provar! Eh como provar que x eh maior que zero partindo do procipio que x eh
maior que zero. 
Suponhamos p>0 e que |x-p| < d, d<p Logo, p-d < x < p+d. Pela definicao da
funcao potência para numeros racionais e pelas propriedades dos numeros
reais, temos que (p-d)^(1/n) - p^1/n < x^1/n - p^1/n < (p+d)^(1/n) - p^1/n
Como o membro da esquerda eh negativo para d>0, temos que |x^1/n - p^1/n| <
(p+d)^(1/n) - p^1/n = p^(1/n)(1+d/p)^(1/n). Pela desigualdade de Bernouille,
vem |x^1/n - p^1/n| < (p^1/n)(1+d/pn) - p^1/n = d/n p^(1/n -1). Logo, dado
Eps>0, para tornarmos |x^1/n - p^1/n| <eps basta escolhermos 0< d<= n Eps/(
p^(1/n -1)). Para todo Eps>0 podemos portanto achar um d que satIsfaca a
condicao de continuidae em p. Logo, f em continua em todo p >=0. Observe que
esta funcao, normalmente,  so eh definida para x>=0. 

Uma outra forma mais facil de provarmos isto eh verificando que g(x) = x eh
obviamente continua e que , pelos teoremas sobre funcoes continuas, para
todo n inteiro g^n tambem eh. Como g^n eh estritamente crescente , sua
inversa f = g^(1/n) eh continua.

Vc desenvolveu um raciocinio certo, so se perdeu um pouco na logica.
Artur  


>
>(p)^(1/n) - Eps < (x)^(1/n) < (p)^(1/n) + Eps
>((p)^(1/n) - Eps)^n < x < ((p)^(1/n) + Eps)^n
>tomando-se I  = ]((p)^(1/n) - Eps)^n, ((p)^(1/n) + Eps)^n[ , p
>pertencente a I
>
>x pertence a I => f(p) - Eps < f(x) < f(p) + Eps
>logo f(x) = (x)^1/n é continua em todo p real.
>
>Mais uma vez, obrigado
>--
>[about him:]
>  It is rare to find learned men who are clean, do not stink and have a
>sense of humour.
>-Gottfried Whilhem Leibniz
>
>=========================================================================
>Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
>=========================================================================

winmail.dat