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Uma reta passando pelo incentro do triangulo ABC bissecta a area se e so se
bissecta o perimetro.
Sejam os pontos X em AB e Y em AC.
Suponha que a reta XY contenha o incentro I de
ABC.
Suponha que o círculo inscrito tangencie BC, AC e
AB nos pontos M, N e P, respectivamente.
Assim, IM = IN = IP = R = raio do círculo
inscrito, e cada um destes segmentos é perpendicular ao lado
correspondente.
Temos que:
[ABC] = (1/2)*R*(AB+AC+BC)
e
[AXY] = [AXI] + [AYI] = (1/2)*AX*PI + (1/2)*AY*NI =
(1/2)*R*(AX+AY)
XY bissecta a área <==>
[ABC] = 2*[AXY] <==>
(1/2)*R*(AB+AC+BC) = 2*(1/2)*R*(AX+AY)
<==>
AB+AC+BC = 2*(AX+AY) <==>
XY bissecta o prímetro
Um abraço,
Claudio.
P.S.: existe o verbo bissectar? Acho que o correto
é bissecionar ou bisseccionar ou bi-secionar....mas como esta é uma lista de
matemática....
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