[obm-l] Re: [obm-l] triangulo e bissetrizes

[peterdirichlet1985@xxxxxxxxxxxxxx]

Tente com trigonometria sempre que for preciso!!!!!!!!!!

-- Mensagem original --

>on 23.04.03 19:38, Rafael at matduvidas@yahoo.com.br wrote:
>
>> Valeu Fabio pelo problema das circunferências. Agora
>> tem esse aqui também:
>> 
>> ABC é um triângulo cujas medidas dos lados são a,b,c
>> e  M ,N,P são os pés das três bissetrizes internas
>> desse triângulo. Achar a razão entre as áreas dos
>> triângulos MNP e ABC
>> resposta: 2abc/(a+b)(a+c)(b+c)
>> 
>> Alguém me ajuda?
>> 
>> Abraços,
>> 
>> Rafael.
>> 
>Oi, Rafael:
>
>Aqui acho que vale a pena usar o fato de que a bissetriz interna de um
>angulo divide o lado oposto a esse angulo em partes proporcionais aos outros
>dois lados.
>
>Assim, sejam as bissetrizes AM, BN e CP, com M em BC, N em AC e P em AB.
>
>Teremos:
>BC = a ==> BM = a*c/(b+c)  e  MC = a*b/(b+c)
>AC = b ==> AN = b*c/(a+c)  e  NC = b*a/(a+c)
>AB = c ==> AP = c*b/(a+b)  e  PB = c*a/(a+b)
>
>Alem disso, decompondo o triangulo ABC, teremos:
>[MNP] + [ANP] + [BMP] + [CMN] = [ABC] ==>
>[MNP]/[ABC] = 1 - [ANP]/[ABC] - [BMP]/[ABC] - [CMN]/[ABC]
>
>Mas:
>[ABC] = (1/2)*AB*AC*sen(A) = (1/2)*b*c*sen(A)
>e
>[ANP] = (1/2)*AN*AP*sen(A) = (1/2)*b^2*c^2*sen(A)/((a+c)(a+b))
>
>Ou seja:
>[ANP]/[ABC] = bc/((a+c)(a+b)) = bc(b+c)/((a+b)(a+c)(b+c))
>
>Analogamente, encontramos:
>[BMP]/[ABC] = ac(a+c)/((a+b)(a+c)(b+c))
>e
>[CMN]/[ABC] = ab(a+b)/(((a+b)(a+c)(b+c))
>
>Assim, temos que:
>[MNP]/[ABC] = 1 - (bc(b+c) + ac(a+c) + ab(a+b))/((a+b)(a+c)(b+c))
>
>E, apos alguma algebra, chegamos finalmente a:
>[MNP]/[ABC] = 2abc/((a+b)(a+c)(b+c))
>
>Um abraco,
>Claudio.
>
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>Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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>

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