[obm-l] Problema proposto Eureka 15

[Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet <peterdirichlet2002@xxxxxxxxxxxx>]

Acho que depois de muita viajem e depressao por ter passado dias entrevado na cama de casa com gripe,consegui me restabelecer e ter uma ideia pra esse da Eureka!

Ache todas as funçoes de R em R tais que f(x+y)+f(x-y)=2f(x)*cos y para todos os reais x e y

 

Bem,revertendo:

f(y+x)+f(y-x)=2f(y)*cos x.

Soma as duas:
2f(x+y)+f(x-y)+f(y-x)=2(f(x)*cos y+f(y)*cos x).

Mas

f(x-y)+f(y-x)=2f(0)*cos(x-y)

(faz x<-0 e y<-(x-y) e confere na primeira)

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f(x+y)+f(0)*cos(x-y)=f(x)*cos y+f(y)*cos x.

Pondo f(0)=z (z de zero,oras!!!)

f(2a)+z*cos 2b=f(a+b)*cos(a-b)+f(a-b)*cos(a+b) por substituiçao direta.

Assim da pra zuar mais:f(2a)+z=2f(a)*cos a

f(pi)+z=0

 Com isso da pra prosseguir.Parece prostaferese,nao?

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