Re: [obm-l] L.I

["Nicolau C. Saldanha" <nicolau@xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx>]

On Fri, Apr 18, 2003 at 01:05:54PM -0300, marcio.lis wrote:
>    em uma questão do livro do elon de algébra linear ele 
> pede p/ mostrar que:(1,e^x,e2^x,e^3x,e^4x) é L.I e 
> coloca como sugestão sair derivando e dividindo por e^x 
> e consegui chegar a solucao por ai porém eu gostaria de 
> saber se eu posso fazer da seguinte forma:substituir e^x 
> por y ai fica um polinômio em y de um lado e do outro 
> lado 0.eu posso concluir por igualdade de polinômio que 
> os coeficientes são todos nulos?e que portanto o 
> conjunto é L.I

Uma generalização natural desta questão é provar que as funções
f_a(x) = exp(ax) são todas LI. Meu método favorito de resolver
é olhar o comportamento em +infinito. Mais exatamente, suponha
que 

(c1 f_a1 + c2 f_a2 + ... + cn f_an)(x) = 0 para todo x,

a1 < a2 < ... < an, todos os ck, k = 1..n, diferentes de 0.

Então

lim_{x -> infinito}(c1 f_a1 + c2 f_a2 + ... + cn f_an)(x) / f_an(x) = 0

Mas

lim_{x -> infinito}(c1 f_a1 + c2 f_a2 + ... + cn f_an)(x) / f_an(x) = 
c1 lim ( f_a1(x)/f_an(x) ) + ... + cn lim ( f_an(x)/f_an(x) ) =
0 + 0 + ... + 0 + cn

Donde cn = 0, absurdo.

[]s, N.

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