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[obm-l] Re: [obm-l] Demonstra��es
-- Mensagem original --
>Alguem poderia me ajudar nestas demonstra��es
>
>1) sabendo que sqrt(3) e sqrt(5) s�o irracionais, verifique que sqrt(3)
>+ sqrt(5) � irracional.
>
>2) sejam p> 0 e q>0 primos distintos. verifique que sqrt(p) + sqrt(q) �
>irracional
>
>3) se p e q s�o inteiros positivos distintos e pelo menos um dos numeros
>sqrt(p) ou sqrt(q) � irracional, ent�o sqrt(p) + sqrt(q) � tb
>irracional.
>
>desde ja agrade�o
>
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Ol�.
N�o sei se j� responderam sua mensagem , mas , vou tentar responder .
Hip�tese => sqrt3 e sqrt5 s�o irracionais
Tese => sqrt3 + sqrt5 � irracional
Supondo que (sqrt3 + sqrt5) seja racional , ou seja , possa ser escrito
na forma a/b , onde a,b pertence aos inteiros , b seja diferente de zero
e mdc(a,b) = 1, temos:
sqrt3 + sqrt5 = a / b
b ( sqrt3 + sqrt5 ) = a
b(sqrt3) + b(sqrt5 ) = a
Pelo lema de que um ( Inteiro) x ( Irracional ) = Irracional ,sendo o inteiro
diferente de zero , vem :
b(sqrt3) = Irracional
+
b(sqrt5) = Irracional
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a = Inteiro ( => <= ) Contradi��o.
N�o sei se est� muito superficial . Espero que tenho ajudado em alguma coisa.
Use a mesma id�ia para fazer 2 e 3 .
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Agora prove para mim :
a) sqrt3 � Irracional
b) sqrt5 � Irracional
c) sqrt7 Irracional
d) sqrt3 + sqrt5 + sqrt7 � Irracional
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Abra�os
Luiz B. Rocha
www.olympicmaths.hpg.com.br
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