Re: [[obm-l] REGRA DA CADEIA]

[pichurin <pichurinbr@xxxxxxxxxxxx>]

 Demonstracao: suponhamos inicialmente que exista uma
> vizinhanca V de a,
> contida em I, na qual g(x)<>g(a) para x<>a. Para
> todo x<>a em V, temos entao
> que [h(x)-h(a)]/(x-a) = f[g(x)]-f[g(a)]/(x-a)
> =f[g(x)]-f[g(a)]/[(g(x)-g(a)].[(g(x)-g(a)]/(x-a)
> (1). 

Não entendo essa passagem.....como que
{f[g(x)]-f[g(a)]}/(x-a)={f[g(x)]-f[g(a)]}/[(g(x)-(g(a)].[g(x)-g(a)]/(x-a)?





Sendo v a funcao
> definida no domínio de f para u<>g(a) por v(u) =
> [f(u)-f(g(a)]/(u-g(a)),
> segue-se da diferenciabilidae de f em g(a) que lim
> (u-->g(a)) v(u) = f'(g(a).
> Da diferenciabilidade de g em a segue-se que g eh
> continua em a. E como
> g(x)<>g(a) para x<> a em V, podemos aplicar aquele
> teorma relativo a limites
> de composicao de funcoes e concluir que, como
> v(g(x))=
> f[g(x)]-f[g(a)]/(g(x-g(a)), entao lim
> (x-->a)v(g(x))= lim (x-->a)
> f[g(x)]-f[g(a)]/(g(x)-g(a)) = lim (u-->g(a)) v(u) =
> f'(g(a)). Por outro lado,
> da diferenciabilidade de g em a eh imediato que lim
> (x-->a) [g(x) -
> g(a)]/(x-a) = g'(a). Considerando-se (1) e a
> existência dos limites em a das
> funcoes cujo produto compoe o primeiro membro de
> (1), concluimos que lim
> (x-->a) [h(x)-h(a)]/(x-a) = h'(a)  existe e
> iguala-se a f'(g(a)) g'(a). Isto
> prova a regra para o caso em questao. 
> 
> Mas existe a possibilidade de que g seja um tanto
> "patologica" e g(x) - g(a)
> se anule para x<> a em qualquer vizinhanca de a.
> Neste caso, o procedimento
> acima nao se aplica, pois teriamos denominador nulo.
> Observamos porem que,
> nesta nova sitauacao, a diferenciabilidade de g em
> acarreta automaticamente
> que g'(a) = 0 (de outra forma, g-a seria
> estritamente positiva ou negativa em
> uma vizinhanca de a, contrariando nossa hipotese).
> Da diferenciabilidade de f
> em g(a), segue-se das propriedades das derivadas que
> existem M>0 e uma
> vizinhanca U de g(a) contida em f(I) na qual |f(y) -
> f(g(a)| <= M (y-g(a)).
> Logo, |f(g(x) - f(g(a)| <= M (g(x) - g(a)) para todo
> x em I. Para x<> a, temos
> entao que|f(g(x) - f(g(a)|/(x-a) <= M [(g(x) -
> g(a)]/(x-a). Como g'(a) = 0, o
> segundo membro tende a zero quando x-->a e,
> consequentemente, o mesmo ocorre
> para o primeiro membro. Logo h'(a) = 0 = f'(g(a).
> g'(a), o que mostra que a R.
> da cadeia eh valida tambem para este ultimo caso.
> 
> No caso que vc citou, temos que h(x)= x^f(x) =
> e^[f(x) ln(x)] Supomdo-se x>0 e
>  f diferenciavel em x, a aplicacao da r. da cadeia
> leva a  que h'(x) = e^[f(x)
> ln(x)] d/dx [f(x) ln(x)] , visto que (e^u)' = e^u
> u'. Logo,  h'(x) = x^f(x)
> [f(x)/x + f'(x) ln(x]
> 
> Um abraco
> Artur
> 
>
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