Re: [obm-l] Fibonacci

[Claudio Buffara <claudio.buffara@xxxxxxxxxxxx>]

Oi, Marcio:

Mesmo o problema de se achar:
S = SOMA(n>=0) 1/F(2^n)
esta' longe de ser trivial.

Eu sei que S = 4 - A, onde A = (1 + raiz(5))/2, ou seja,
S = (7 - raiz(5))/2.

Acho que a formula: F(2k) = [F(k+1) + F(k-1)]*F(k) deve entrar em algum
lugar na demonstracao e, de algum jeito, a restricao as potencias de 2 deve
fazer aparecer alguma PG cuja soma eh S.

Um abraco,
Claudio.


on 12.04.03 00:43, Marcio at marciocohen@superig.com.br wrote:

> Oi Claudio!
> Desculpe a demora na resposta. Assim que li seu email fui conferir minha
> solucao.. E descobri que ela esta mesmo errada.. Fiquei tentando consertar,
> mas nao deu (alias, foi mas por teimosia, pq o que vc falou faz total
> sentido.. se a irracionalidade nao foi decidida ateh 80, eh razoavel que o
> resultado nao se escreva de maneira mto simples com constantes conhecidas).
> Como esse eh um exercicio proposto num livro que eu tenho aqui em casa,
> achei que fosse soh mais um exercicio de rotina, e nao um problema conhecido
> e dificil.. O que eu tinha feito era olhar para o inverso de F_n*sqrt(5)
> como 1/(a^n + b^n), onde a,b sao... e ab=-1 donde F_n*sqrt(5) = b^n/(b^2n +
> 1) para n par, com - para n impar.
> E ai eu encarava esse ultimo numero como a soma de uma PG e depois fazia
> uma contagem dupla nas potencias de b (isso se justifica pelo fato da serie
> ser absolutamente convergente, o que segue por exemplo de 1/|F_n*sqrt(5)| =
> 1/|a^n-b^n|<2/(a^n) que eh uma serie convergente pois |1/a|<1 (ou entao
> seguindo o que vc e o yuri responderam em emails passados). O problema eh
> que eu burramente escrevi o o 1/(b^2n + 1) como 1-b+b^2-b^3+... e nao como
> uma PG de razao b^2n como deveria ser..
> Sendo assim, eu tmb gostaria muito de ver a minha solucao :)
> Abracos,
> Marcio
> PS: O livro em questao eh o Engel - Solving problem strategies..  La ele
> deixa esse exercicio como proposto, sem mostrar a solucao.. Pensando agora,
> acho provavel que ele quisesse dizer F_2^n ao inves de F_n..
> 
> ----- Original Message -----
> From: "Claudio Buffara" <claudio.buffara@terra.com.br>
> To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
> Sent: Wednesday, April 09, 2003 11:54 PM
> Subject: Re: [obm-l] Fibonacci
> 
> 
>> Marcio:
>> 
>> Dei uma pesquisada na internet e parece a prova da irracionalidade da soma
>> dos reciprocos dos numeros de Fibonacci foi um dos problemas propostos por
>> Paul Erdos e que soh foi resolvido na decada de 1980.
>> 
>> Assim, o valor exato desta soma nao deve poder ser expresso como uma
>> combinacao de constantes conhecidas (Pi, e, raiz(5), etc.).
>> 
>> Sendo assim, eu gostaria muito de ver a sua solucao.
> 

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