Re: [obm-l] Problemas em Aberto

[Carlos Gustavo Tamm de Araujo Moreira <gugu@xxxxxxx>]

>
>6. D=EA um exemplo de uma sequ=EAncia (Xn) de n=FAmeros reais tal que:=20
>
>lim  ( Xn / n^t ) =3D 0 para todo t > 0=20
>e
>lim ( [log(n)]^k / Xn ) =3D 0 para todo k > 0
>

 Existem muitas, como X_n=2^(raiz(log(n)), ou X_n=(log(n))^log(log(n)).

>*********
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>7. Um tri=E2ngulo tem lados com medida inteira e =E1rea racional. Prove =
>que uma de suas alturas tem medida inteira e que o p=E9 desta altura =
>est=E1 a uma dist=E2ncia inteira dos v=E9rtices do tri=E2ngulo.
>

  Parece que isso nao esta' certo. O triangulo de lados 17, 65 e 80 tem area
288 e alturas 576/17, 576/65 e 36/5, que nao sao inteiras...

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>
>9. Seja K um inteiro >=3D 2.=20
>                       infinito
>Seja S  =3D  SOMAT=D3RIO  1 / K^(n^2) =3D 1/K + 1/K^4 + 1/K^9 + 1/K^16 + =
>...
>                        n =3D 1
>Prove que S =E9 irracional.
>

  Se x=p/q e' racional e r/s e' outro racional diferente de x entao
|x-r/s|=|(ps-qr)/qs|>=1/qs, ou seja, s|x-r/s|>=1/q. 
Por outro lado, soma(n=1 ate' m)(1/K^(n^2)) e' um racional com denominador
(divisor de) K^(m^2), digamos p/K^(m^2), e
|S-p/K^(m^2)|<(1/K^((m+1)^2))(1+1/2+1/4+...)=2/K^((m+1)^2), mas
K^(m^2).2/K^((m+1)^2)=2/K^(2m+1) tende a 0 quando m tende a infinito, e
portanto S nao pode ser racional.

     Abracos,
              Gugu
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