Re: [obm-l] Problemas em Aberto

[Carlos Gustavo Tamm de Araujo Moreira <gugu@xxxxxxx>]

>
>HelpCaros colegas da lista:
>
>Muitas vezes um problema =E9 proposto na lista, nenhuma solu=E7=E3o =E9 =
>dada nos dias seguintes e logo o problema cai no esquecimento. Assim, =
>resolvi fazer uma compila=E7=E3o (temo que incompleta) daqueles =
>problemas da lista que ficaram sem solu=E7=E3o.
>
>1. Seja=20
>A =3D | A1 |
>      | A2 |
>uma matriz m x n com A1 n x n n=E3o singular e A2 uma matriz (m-n) x n =
>arbitr=E1ria
>
>A+ =E9 a pseudo-inversa de A, definida como=20
>A+ =3D (A'  * A)^(-1) * A'
>
>prove que ||A+|| <=3D ||(A1)^(-1)|| =20
>
>OBS: A norma aqui =E9 induzida:
> ||A|| =3D  sup ||Ax||
>        ||x|| =3D 1
>

  Temos que A+(v) e', dentre os vetores u com |Au-v| minimo o que tem a
menor norma. Assim, se v=Au, temos |A+(v)|<=|u|. Assim, A+ se anula no
complemento ortogonal da imagem de A, logo a norma de A+ e' igual a norma de
A+ restrita a imagem de A. Por outro lado,temos que |A1(u)|<=|Au| para todo
u, donde ||A+|| <= max |u|/|Au| <= max |u|/|A1(u)| = ||(A1)^(-1)||.

>*********
>
>2. =C9 poss=EDvel que um polin=F4mio de coeficientes inteiros P(X) =
>irredut=EDvel se fatore em Z/(n) para todo n natural ?
>
>

  Sim. Por exemplo:P(x)=x^4-38.x^2+225=
=(x-(raiz(2)+raiz(17))(x-(-raiz(2)+raiz(17))(x-(raiz(2)-raiz(17))(x-(-raiz(2)-raiz(17)).
  De fato, para qualquer q potencia de primo, 2 ou 17 ou 34 e' um quadrado
modulo q (prove primeiro para q primo e depois use inducao no expoente; para
q potencia de 2 use que 17 e' quadrado modulo 8). Se 2=a^2 (mod q), entao
P(x)=(x^2-2ax-15)(x^2+2ax-15) (mod q). Se 17=b^2 (mod q), entao
P(x)=(x^2-2bx+15)(x^2+2bx+15) (mod q), e se 34=c^2 (mod q), entao
P(x)=(x^2-(19+2c))(x^2-(19-2c)) (mod q). Agora, dado n, escrevemos n como
produto de potencias de primos distintos, e usamos o fato de que modulo
qualquer dessas potencias de primo pudemos fatorar P(x) como produto de dois
polinomios do segundo grau com coeficientes inteiros junto com o teorema
chines dos restos para mostrar que P(x) pode ser escrito modulo n como o
produto de dois polinomios do segundo grau com coeficientes inteiros. 
  Um problema relacionado que eu nao sei resolver e' o seguinte: e' possivel
que um polinomio irredutivel de coeficientes inteiros tenha raiz modulo p
para todo primo p ?    

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   Abracos,
            Gugu
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