Bem,o metodo da descida infinita ou descenso infinito pode ser descrito assim:
i)Suponha que exista uma soluçao em naturais;
ii)pegue uma soluçao minima em algum sentido;
iii)tente chegar em contradiçao.
Na verdade isto e o Principio da Boa Ordem para os Naturais e a relacao >.
Vou demonstrar essa joça aqui:
Se os naturais a,b,c sao tais que a^4+b^4=c^2 entao algum deles sera zero.
Suponha o contrario,que os caras sao inteiros positivos.Entao existe uma soluçao tal que c seja o menor possivel(pelo PBO).Logo MDC(a,b) =1,e existem inteiros positivos u,v com
a^2=u^2-v^2,b^2=2uv,c=u^2+v^2
(essa e a soluçao da equaçao diofantina de Pitagoras X^2+Y^2=Z^2).Reaplicando,vemos que existem inteiros positivos p,q com
MDC(p,q)=1 e a=p^2-q^2,v=2pq,c=u^2+v^2.
Com isso b^2=2uv=4pq(p^2+q^2).Logo como p e q sao primos entre si p,q e p^2+q^2 sao todos quadrados perfeitos.Logo existem A,B e C inteiros positivos tais que
p=A^2,q=B^2,p^2+q^2=C^2.
Mas com isso A^4+B^4=C^2 e c=u^2+v^2>u=p^2+q^2=C^2>C e ai temos duas contradiçoes:
1)c>C pois coisas grandes sao maiores que coisas pequenas:) ;)
2)c<=C por hipotese de minimalidade.
E fim!