[obm-l] Re: [obm-l] Fibonacci

[yurigomes@xxxxxxxxxxxxxx]

 Oi Marcio,
 Para mostrar que ela eh convergente basta fazer o seguinte: defina F(0)=F(1)=1.
Logo, para n>=0, temos F(n+2)>=2F(n), com igualdade apenas qdo n=0. Logo,
podemos majorar F(n)^(-1) do seguinte modo. Para n=2k, temos F(2k)>2F(2k-2)>...>2^(k-1).F(2)=2^k
e para n=2k+1, temos f(2k+1)>2F(2k-1)>...>2^(k-1).F(3)>2^k, ou seja, temos
F(n)>2^[n/2], onde [x]= parte inteira de x. Desse modo, vemos que sum(1/F(n))
converge, pelo teste da comparação.

Yuri

-- Mensagem original --

>Marcio:
>
>Dei uma pesquisada na internet e parece a prova da irracionalidade da soma
>dos reciprocos dos numeros de Fibonacci foi um dos problemas propostos
por
>Paul Erdos e que soh foi resolvido na decada de 1980.
>
>Assim, o valor exato desta soma nao deve poder ser expresso como uma
>combinacao de constantes conhecidas (Pi, e, raiz(5), etc.).
>
>Sendo assim, eu gostaria muito de ver a sua solucao.
>
>Um abraco,
>Claudio.
>
>on 09.04.03 21:14, Claudio Buffara at claudio.buffara@terra.com.br wrote:
>
>> on 09.04.03 12:01, Marcio at marciocohen@superig.com.br wrote:
>> 
>>> Obrigado ao pessoal que se manifestou na questao do rearranjo!
>>> Segue aqui um outro problema legal, que tambem ja circulou (sem resposta)
>>> pela lista.
>>> 
>>> Esse eu consegui fazer (na época eu não tinha conseguido), mas minha
solução
>>> é meio feia. Fica aqui pra voces tentarem também. Se alguém quiser depois
>eu
>>> mando a solução.
>>> 
>>> Seja F_n o n-esimo nr. de fibonacci. Mostre que a serie 1/(F_n) converge,
>e
>>> determine sua soma.
>>> 
>>> Abracos,
>>> Marcio
>>> 
>>> PS: Eu iria mandar pra Eureka como proposto, mas achei universitario
demais.
>>> 
>> Oi, Marcio:
>> 
>> Estou supondo que F(1) = F(2) = 1  e  F(n) = F(n-1) + F(n-2) para n >=
>3.
>> 
>> A convergencia eh consequencia do seguinte resultado, que pode ser provado
>> por inducao completa:
>> 
>> Para todo n >= 3  F(n) > (5/4)^n
>> Dem:
>> F(3) = 2 > (5/4)^3 = 1,953125
>> 
>> Suponha que para 3 <= k <= n-1 tenhamos F(k) > (5/4)^k
>> 
>> Entao: 
>> F(n) = F(n-1) + F(n-2) > (5/4)^(n-1) + (5/4)^(n-2) =
>> = (5/4 + 1)*(5/4)^(n-2) = (9/4)*(5/4)^(n-2) > (25/16)*(5/4)^(n-2) = (5/4)^n
>> -----
>> 
>> Como, para n >=3, F(n) > (5/4)^n, temos que:
>> para n >= 3, 0 < 1/F(n) < (4/5)^n.
>> 
>> Alem disso, SOMA(n>=3) (4/5)^n converge.
>> 
>> Logo SOMA(n>=3) 1/F(n) converge, pelo teste da comparacao.
>> 
>> *******
>> 
>> Acho que a soma pode sair atraves da formula de Binet:
>> 
>> F(n) = (1/raiz(5))*(A^n - B^n), onde:
>> 
>> A = (1+raiz(5))/2  e  B = (1-raiz(5))/2
>> 
>> mas ainda nao encontrei o caminho.
>> 
>> Gostei do problema. Seria uma pena se todas as solucoes fossem feias,
pois
>a
>> sequencia de Fibonacci eh tao "bonitinha"...
>> 
>> Um abraco,
>> Claudio.
>> 
>> 
>> =========================================================================
>> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
>> O administrador desta lista é <nicolau@mat.puc-rio.br>
>> =========================================================================
>> 
>
>=========================================================================
>Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
>O administrador desta lista é <nicolau@mat.puc-rio.br>
>=========================================================================
>

[]'s, Yuri
ICQ: 64992515


------------------------------------------
Use o melhor sistema de busca da Internet
Radar UOL - http://www.radaruol.com.br



=========================================================================
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
O administrador desta lista é <nicolau@mat.puc-rio.br>
=========================================================================