Re: [obm-l] ajuda2

[Claudio Buffara <claudio.buffara@xxxxxxxxxxxx>]

Oi, Henrique:

Estou me intrometendo mas acho que posso ajudar.

Ha algum tempo, o Marcio Cohen deu a seguinte dica aqui na lista:

Em exames, quando aparece algum polinomio de 4o. grau com coeficientes
inteiros, ha uma boa chance de que ele seja fatoravel em polinomios lineares
ou pelo menos de 2o. grau tambem com coeficientes inteiros.

Quando o polinomio eh monico (isto eh, o coeficiente do termo de maior grau
eh 1), a coisa fica ainda mais facil.

Assim, se p(x) = x^4 + 2x^3 - x^2 - 2x + 1, podemos procurar uma fatoracao
da forma:
p(x) = (x^2 + ax + b)(x^2 + cx + d)

Multiplicando:, vem:
p(x) = x^4 + (a + c)x^3 + (ac + b + d)x^2 + (ad + bc)x + bd

Igualando os coeficientes, teremos:
a + c = 2
ac + b + d = -1
ad + bc = -2
bd = 1

A ultima equacao implica que:
b = d = 1   ou   b = d = -1.

Caso 1: b = d = 1 ==>
Usando as duas primeiras equacoes, teremos:
a + c = 2
ac = -3 ==>
a  e  c sao raizes de x^2 - 2x - 3 = 0 ==>
a = 3  e  c = -1.

Testando na 3a. equacao: ad + bc = 3 - 1 = 2 <> - 2 ==>
b = d = 1 nao eh solucao

Caso 2: b = d = -1 ==>
a + c = 2
ac = 1
a  e  c sao raizes de x^2 - 2x + 1 = 0 ==>
a = c = 1

Testando: ad + bc = -1 + -1 = -2 ==> OK.

Logo, temos que: a = c = 1, b = d = -1 ==>
p(x) = (x^2 + x - 1)^2.
 
*********

Repare que a algebra acima, apesar de um pouco trabalhosa, eh bastante
elementar.

Naturalmente, para este problema especifico (provar que 1 + o produto de
quatro inteiros consecutivos eh sempre um quadrado perfeito) existe uma
forma melhor:

Sejam os 4 inteiros consectivos:
u - 3/2, u - 1/2, u + 1/2, u + 3/2
(quem disse que u eh inteiro??? De fato, u = m+1/2, para algum inteiro m)

Assim, o produto eh (rearranjando os termos):
(u - 3/2)(u + 3/2)(u - 1/2)(u + 1/2) =
(u^2 - 9/4)(u^2 - 1/4) =
u^4 - (5/2)u^2 + 9/16.

Logo, 1 + produto = u^4 - (5/2)u^2 + 25/16 =
= u^4 - 2*(5/4)*u^2 + (5/4)^2 =
= (u^2 - 5/4)^2

Mas lembre-se de que u = m+1/2 ==> u^2 = m^2 + m + 1/4 ==>
(u^2 - 5/4)^2 = (m^2 + m - 1)^2
e acabou...

Aqui vai mais uma dica: antes de sair multiplicando e fatorando feito um
maluco, pense um pouco e veja se tem alguma mudanca de variaveis que
simplifique o problema.

Um abraco,
Claudio.

on 08.04.03 21:11, Henrique Patrício Sant'Anna Branco at
hpsbranco@superig.com.br wrote:

> Carlos,
> 
> (...)
>> Note que (u+2)(u+1)u(u-1)+1=(u^2+u-1)^2, e faca u=93.
> (...)
> 
> Pergunta de quem não entende pouco de fatoração: como você fatorou isso?
> Sei que (u+2)(u+1)u(u-1)+1 = u^4+2u^3-u^2-2u+1, mas a partir daí, não sei
> proceder.
> 
> Abraço,
> Henrique.
> 
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> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
> O administrador desta lista é <nicolau@mat.puc-rio.br>
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