Re: [obm-l] Mais Problemas em Aberto

[Carlos Gustavo Tamm de Araujo Moreira <gugu@xxxxxxx>]

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>3)Determine todos os inteiros positivos que podem ser representados de =
>maneira =FAnica sob a forma ( x^2+y)/(xy+1).
>
   Se n=(x^2+y)/(xy+1) e' inteiro entao (y^2-x)/(xy+1)=ny-x tambem e'. Temos
entao dois casos: ou y^2=x (e nesse caso n=(y^4+y)/(y^3+1)=y) ou
|xy+1|<=|y^2-x| e |xy+1|<=|x^2+y|.
Se admitirmos x ou y negativos temos solucoes com y=-1, quando n=-(x+1), e
todo inteiro positivo tem pelo menos duas representacoes. Vamos considerar
entao x e y naturais. Nesse caso, se y=0, temos n=x^2 com duas
representacoes. Se y e' positivo, devemos ter y^2-x>=xy+1, donde y>x, ou
seja, y>=x+1. De x^2+y>=xy+1 temos y(x-1)<=x^2-1, o que da' x=1 (o que da'
sempre n=1, que tem pois infinitas representacoes) ou y<=x+1, e portanto
y=x+1, o que tambem da' n=1. Assim, se supusermos x e y naturais todos os
nao quadrados tem representacao unica. Se supusermos x e y inteiros
positivos todos os inteiros positivos, exceto n=1, tem representacao unica,
mas se deixarmos x e y serem inteiros quaisquer entao nenhum inteiro
positivo tem representacao unica.
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