Re: [obm-l] Mais Probls em Aberto II

[Claudio Buffara <claudio.buffara@xxxxxxxxxxxx>]

Title: Re: [obm-l] Mais Probls em Aberto II

> 12)Sejam m e n inteiros positivos tal que n=<m. Prove 
> que (2^n)*n!=< (m+n)!/(m-n)! =<(m^2+m)^n.
>
> Parte 1:
> (2^n)*n! <= (m+n)!/(m-n)! para m >= n >= 1
> Inducao em m, supondo n fixo:
>
> m = n:
> (m+n)!/(m-n)! = (2n)! = produto de todos os naturais de 1 a 2n >=
> produto de todos os pares de 1 a 2n = 2^n*n!
>
> Suponhamos que m >= n e que (m+n)!/(m-n)! >= 2^n * n!.
>
> (m+1+n)!/(m+1-n)! = (m+n)!/(m-n)! * (m+n+1)/(m-n+1) >=
> (m+n)!/(m-n)! >= 2^n*n!.
>
> ------
>
> Parte 2:
> (m+n)!/(m-n)! <= (m^2+m)^n para m >= n >= 1
>
> (m+n)!/(m-n)! = (m+n)*(m+n-1)*....*(m-n+1) =
> PRODUTO(1<=k<=n) (m+n+1-k)*(m-n+k) =
> PRODUTO(1<=k<=n) [m^2-n^2+m-n + (2n+1)*k - k^2]
>
> Por outro lado:
> (m^2+m)^n = PRODUTO(1<=k<= n) (m^2+m)
>
> Entretanto:
> (m^2 - m) - [m^2-n^2+m-n + (2n+1)*k - k^2] =
> k^2 - (2n+1)*k + n*(n+1) =
> (k - n)*(k - n - 1) >= 0 se k <= n ou k >= n + 1 ==>
>
> (k - n)*(k - n - 1) >= 0 para todo k inteiro ==>
>
> PRODUTO(1<=k<=n) (m+n+1-k)*(m-n+k) <= (m^2+m)^n ==>
>
> (m+n)/(m-n)! <= (m^2+m)^n para m >=n >= 0.
>
>
> Um abraco,
> Claudio.