Re: [obm-l] Re: [obm-l] Demonstrações

[Claudio Buffara <claudio.buffara@xxxxxxxxxxxx>]

Caro Diego:

Tomei a liberdade de inserir alguns comentarios em sua mensagem. Espero que
voce nao se importe.

on 03.04.03 23:53, Diego Navarro at diego@navarro.mus.br wrote:

> MensagemSuponha que não existem complexos. Na verdade, isso é mais por
> conveniência, já que não sei nada sobre complexos, mas parece razoável que a
> soma de dois números reais seja real.
> 
> Um número racional é aquele que pode ser expresso pelo quociente de dois
> inteiros p e q. Suponha, por absurdo, que
> 
> sqrt(3)+sqrt(5)=p/q
> q(sqrt(3)+sqrt(5))=p
> q*sqrt(3)+q*sqrt(5)=p
> 
> Ora, para que a soma q*sqrt(3)+q*sqrt(5) seja inteira, é preciso que cada
> parcela seja racional

> (big dúvida: será mesmo? Dois números irracionais
> podem ter soma inteira?

Sim. Por exemplo: 2 + raiz(2) e 2 - raiz(2) sao ambos irracionais mas tem
soma = 4.

O problema 1 estah mal formulado, pois da a impressao de que se a e b sao
irracionais entao a+b eh irracional, o que, pelo exemplo acima, nao eh
sempre verdade, apesar de ser verdade com a = raiz(3) e b = raiz(5).
 

> Alguém vai ter que conferir isto aqui). A única
> forma de que isso aconteça é
> 
> (i) q=a/sqrt(3)   e q=b/sqrt(5); a e b racionais
> 
> 
> a/sqrt(3) = b/sqrt(5)
> a*sqrt(5)=b*sqrt(3)
> a/b = sqrt(3)/sqrt(5) <--- irracional. Contradizendo (i).
> 
Este argumento eh invalido.
raiz(3)/raiz(5) eh de fato irracional mas nao decorre simplesmente do fato
de raiz(3) e raiz(5) serem ambos irracionais.

Por exemplo, raiz(18) e raiz(2) sao ambos irracionais, mas raiz(18)/raiz(2)
= 3, que eh racional.
 
> É uma demonstração meio trapaceada. Se for válida, é fácil expandir para
> quaisquer primos, já que a sqrt() de um primo é sempre irracional.
Verdade, mas isso nao foi demonstrado.

>Será que dá para demonstrar que a soma de dois irracionais não pode ser
>racional - excetuando o 0?
Nao, pois isso nao eh verdade. Vide exemplo acima.
 
> Um, suponha, por absurdo, que dois números irracionais podem ter soma
> racional diferente de zero.
> 
> (i) x + y = p/q
> y=(p-qx)/q
> 
> x-y = x - (p-qx)/q = (qx-p-qx)/q=-p/q
> 
> Mas por (i), x+y = p/q; logo, -x-y = -p/q
> 
> x-y=-x-y ==> x = -x, o que só vale para 0. E nesse caso, y = p/q, ou seja,
> racional. Logo, dois números irracionais diferentes de zero  não podem ter
> soma racional diferente de zero.
> 
> Tá, esta segunda parte também parece um pouco trapaceada. Acho que preciso
> de ajuda. Mas se isto for verdade, a demonstração 3) é trivial, e as três
> estão respondidas.
> 

A melhor maneira de se resolver os tres problemas de uma vez so eh provando
o seguinte resultado mais geral:

Seja N um inteiro nao negativo. Entao:
raiz(N) eh racional se e somente se N eh um quadrado perfeito.
Dem:
Se N = 0 ou N = 1, o resultado eh obvio. Assim, suponhamos que N >= 2.

Se N eh um q.p., entao existe um inteiro nao negativo M tal que N = M^2.
Assim, raiz(N) = raiz(M^2) = M, que eh inteiro e, portanto, racional.

Se raiz(N) eh racional, entao existem inteiros positivos P e Q, primos entre
si, tais que raiz(N) = P/Q.
Isso implica que N = P^2/Q^2, ou seja, P^2 = N * Q^2.
Naturalmente temos que N divide P^2.
Por outro lado, como mdc(P,Q) = 1, cada primo que divide P^2 terah
necessariamente que dividir N. Isso implica que P^2 divide N.
Assim, concluimos que P^2 e N sao dois inteiros positivos que se dividem
mutuamente. Logo, sao iguais ==> N = P^2 eh um quadrado perfeito.
------

Repare que provamos um pouco mais do que queriamos, a saber, que se N eh um
inteiro nao negativo e raiz(N) eh racional, entao raiz(N) eh inteiro.

******

Agora, fica mais facil resolver os problemas.

Por exemplo, o segundo sai assim:

p e q primos ==> 
p*q nao eh quadrado perfeito (por que?) ==>
raiz(p*q) eh irracional (consequencia do resultado demonstrado acima)

Suponha que a = raiz(p) + raiz(q) seja racional.
Entao a^2 = p + q + 2*raiz(p*q) eh racional ==>
(a^2 - p - q)/2 = raiz(p*q) eh racional ==>
contradicao ==>
a = raiz(p) + raiz(q) eh irracional.

Um abraco,
Claudio.
> 
> 
> ----- Original Message -----
> From: Hely Jr.
> To: obm-l@mat.puc-rio.br
> Sent: Thursday, April 03, 2003 10:58 PM
> Subject: [obm-l] Demonstrações
> 
> 
> Alguem poderia me ajudar nestas demonstrações
> 
> 1) sabendo que sqrt(3) e sqrt(5) são irracionais, verifique que sqrt(3) +
> sqrt(5) é irracional.
> 
> 2) sejam p> 0 e q>0 primos distintos. verifique que sqrt(p) + sqrt(q) é
> irracional
> 
> 3) se p e q sào inteiros positivos distintos e pelo menos um dos numeros
> sqrt(p) ou sqrt(q) é irracional, então sqrt(p) + sqrt(q) é tb irracional.
> 
> desde ja agradeço
> 
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> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
> O administrador desta lista é <nicolau@mat.puc-rio.br>
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