Re: [obm-l] Dizimas Periodicas

["Cláudio \(Prática\)" <claudio@xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx>]

Caro Maurikleber:

No caso 2 (N/M irredutível (tinha me esquecido desse detalhe) e M primo com
10), suponha que:
N/M = 0,a1...ak b1...bp b1...bp b1...,
ou seja, que a expansão decimal de N/M tem uma parte não-periódica.

Então:
N/M =  Q + 0,a1...ak b1...bp b1...bp b1... =
= Q + R/10^k + S/(10^p - 1)
(Q = inteiro não negativo = parte inteira de N/M)
(R = a1...ak: inteiro não-negativo tal que 0 <= R < 99...9 = 10^k - 1)
(S = b1...bp: inteiro positivo) ==>

(N - M*Q)/M = R/10^k + S/(10^p - 1) ==>

10^k*(10^p - 1)*(N - M*Q) = (10^p - 1)*M*R + 10^k*M*S ==>

(10^p - 1)*M*R = 10^k*[(10^p - 1)*(N - M*Q) - M*S] ==>

10^k divide (10^p - 1)*M*R

Mas como mdc(10,M) = mdc(10^k,M) = mdc(10^k,10^p - 1) = 1, temos que:
10^k divide R.

Como 0 <= R < 10^k - 1, só pode ser R = 0  ==>

a expansão decimal de N/M não tem uma parte não-periódica

Espero que tenha ficado claro.

Um abraço,
Claudio.

----- Original Message -----
From: "maurikleber araujo" <maurikleber@hotmail.com>
To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
Sent: Wednesday, March 26, 2003 2:18 PM
Subject: Re: [obm-l] Dizimas Periodicas


> claudio agradeco a elegancia e clareza da sua resposta
> ja suspeitava contudo da analise que vc fez
> mas fiquei cauteloso quanto a prova formal
> do caso 2, os demais ja havia percebido,eh claro
> (me referindo ao caso 2) que  neste caso teremos
> uma dizima ou entao somos levado a um numero irracional
> contudo o que garante que nao teremos numeros que nao facam
> parte do periodo
>
>
>
>
>
>
>
> >From: Claudio Buffara <claudio.buffara@terra.com.br>
> >Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
> >To: Lista OBM <obm-l@mat.puc-rio.br>
> >Subject: [obm-l] Dizimas Periodicas
> >Date: Sun, 23 Mar 2003 18:32:26 -0300
> >
> >Caro Maurikleber:
> >
> >
> >analise a natureza das dizimas sem converter:7/12 ,1/21....
> >
> >alem da resolucao gostaria que me indicassem algum material
> >teorico a respeito ,favor responderem
> >
> >
> >A fracao decimal correspondente a uma dada fracao ordinaria depende da
> >decomposicao em fatores primos do denominador (d) da fracao ordinaria.
> >
> >Existem 3 casos distintos:
> >
> >Caso 1:
> >d = 2^a * 5^b (a e b inteiros nao negativos) ==> a fracao decimal eh
finita
> >
> >Caso 2:
> >d = m (onde m eh um inteiro > 1 e primo com 10) ==> a fracao decimal eh
uma
> >dizima periodica simples (ou seja, a parte periodica comeca logo depois
da
> >virgula)
> >
> >Caso 3:
> >d = 2^a * 5^b * m (onde m eh > 1 e primo com 10) ==> a fracao decimal eh
> >uma
> >dizima periodica composta, com uma parte nao periodica logo apos a
virgula
> >e
> >antes da parte periodica
> >
> >Assim:
> >7/12 ==> 12 = 2^2 * 3 ==> caso 3
> >
> >1/21 ==> 21 = 3 * 7 ==> caso 2
> >
> >A Revista do professor de Matematica tem alguns artigos a respeito, ou
> >entao
> >o livro Meu Professor de Matematica do Elon Lages Lima (publicado pela
> >SBM).
> >
> >Um abraco,
> >Claudio.
> >

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