[obm-l] Re: [obm-l] 2ª Vingança Olimpica - Problema 5

["Nicolau C. Saldanha" <nicolau@xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx>]

On Tue, Mar 25, 2003 at 05:34:01PM -0300, Cláudio (Prática) wrote:
> 5)(Guilherme Issao)Existem p²,onde p e primo,crianças dispostas num bairro
> como um tabuleiro p por p.Ha tambem duas distribuidoras de doces,a
> Cledmilson Marmotta e a Estrogonofre's.A Cledmilson Marmotta manda um
> vendedor para cada uma das p linhas horizontais,sendo que o vendedor da
> i-esima linha tem i Kg de doce de jilo e distribui igualmente entre as p
> crianças. Da mesma forma Estrogonofre's manda um vendedor para cada uma das
> p linhas verticais,sendo que o vendedor da j-esima linha tem j Kg de doce de
> jaca e distribui igualmente entre as p crianças. De quantas maneiras podemos
> escolher um grupo de crianças desse bairro para roubar-lhes os doces de modo
> que a quantidade de cada tipo de doce roubada seja inteira?[6]
> 
> Acho que encontrei a solução. De qualquer jeito, gostaria de comentários,
> especialmente se a solução estiver errada.
> 
> Se as linhas escolhidas forem i_1, ..., i_r e as colunas  j_1, ..., j_s,
> então as quantidades serão:
> (i_1 + ... + i_r)/p kg de doce de jiló
> e
> (j_1 + ... + j_s)/p kg de doce de jaca.

Está certo se você não supuser que os i_1, ..., i_r sejam distintos,
que os i_1, ..., i_s sejam distintos, mas supuser que r=s.
 
> O peso total de cada doce será inteiro se e somente se
> {i_1, ..., i_r} e {j_1, ..., j_s} forem subconjuntos de {1, 2, ..., p} cujas
> somas dos elementos sejam = 0 (mod p).
> 
> Dessa forma, o problema pode ser refraseado como:
> Determinar o número de subconjuntos de {1, 2, ..., p}x{1, 2, ...,p} cuja
> soma dos
> elementos (definida da forma usual: (a,b)+(c,d)=(a+c,b+d) ) seja um par
> ordenado da forma (mp,np) onde m e n são inteiros.

Esta reformulação está correta...
 
> Assim, se M = número de subconjuntos de {1,2,...,p} que tenham a soma de
> seus elementos = 0 (mod p), então o número desejado será igual a M^2.

...mas esta conclusão não está. Não entendi direito qual foi o seu raciocínio.
Mas vou acompanhar o cálculo de M, é um problema relacionado.
 
> Inicialmente, vamos determinar o valor de M.
> 
> Consideremos os subconjuntos de {1,2,...,p}com n elementos ( 1 <= n <= p ).
> Seja f(n) = número de tais subconjuntos cuja soma seja = 0 (mod p)

> Então: M = f(1) + f(2) = ... = f(p-1) + f(p)

Faltou f(0).
 
> Se n = p, então o único subconjunto com soma = 0 (mod p) será {1,2,...,p}
> ==>
> f(p) = 1

Ok.
 
> Consideremos agora o caso 1 <= n <= p-1.
> Tomemos um subconjunto de n elementos {a(1),...,a(n)} com soma = 0 (mod p).
> 
> Para 1 <= k <= p-1, se somarmos k a cada um dos a(i), teremos que:
> a(1) + ... + a(n) = kn (mod p)
> 
> Como p é primo e n < p, os números 0, n, 2n, ..., (p-1)n formarão um sistema
> completo de restos (mod p).
> 
> Assim, para cada k ( 1 <= k <= p-1) e a cada subconjunto {a(1), ...,a(n)}com
> soma = 0 (mod p), podemos fazer
> corresponder exatamente um conjunto cuja soma é = k (mod p).
> 
> Logo, o número de subconjuntos de n elementos cuja soma é =  k (mod p), será
> o mesmo
> para cada k (0 <= k <= p-1)
> 
> Como o número total de subconjuntos de n elementos de {1, 2, ..., p} é
> C(p,n), teremos que f(n) = C(p,n)/p.

Muito bem.
 
> M = f(1) + f(2) +  ... + f(p-1) + f(p) =
> = C(p,1)/p + C(p,2)/p + ... + C(p,p-1)/p + 1 =
> = (2^p - 2)/p + 1

Na verdade (2^p - 2)/p + 2.
 
[]s, N.
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