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Oi Fael:
Aqui v�o alguns coment�rios.
1) Escreve-se a s�rie natural dos n�meros a partir de 1 sem separar os algarismos. Determinar o algarismo que ocupa o 123456789� lugar. J� apareceu um problema parecido na
lista. Veja s�:
Quando
escrevemos os n�meros 1, 2, 3, 4, ...., 2002, o 2002� algarismo escrito
�:
Existem 9 n�meros de 1 algarismo, que usam 9
algarismos
Subtotal = 9
Existem 90 n�meros de 2 algarismos, que usam
2*90 = 180 algarismos
Subtotal = 189 (ou seja, o 2o. "9" de 99 � o 189o.
algarismo)
Existem 900 n�meros de 3 algarismos, que usam
3*900 = 2700 algarismos
Subtotal = 2889 > 2002 ==> o 2002o. algarismo
pertence a um n�mero de 3 algarismos.
2002 - 189 = 1813 = 3 * 604 + 1 ==> o
2002.o algarismo � o primeiro algarismo do 605o. n�mero de 3 algarismos, ou
seja, o primeiro algarismo de 704 = "7".
Explica��o:
A partir de 100 (inclusive), cada n�mero usa 3
algarismos.
Por exemplo, se quis�ssemos o 203o. algarismo,
far�amos 203 - 189 = 14 = 3 * 4 + 2 ==> o 203o. algarismo
� o 14o. algarismo contado a partir do "1"de 100 (inclusive), ou seja, � o
segundo algarismo do quinto n�mero de 3 algarismos, ou seja, o algarismo das
dezenas de 104 = "0".
Podemos checar: 1 0 0 1 0 1
1 0 2 1 0 3 1 "0" 4.
No entanto, estamos procurando o 2002.o algarismo =
1813o. algarismo contado a partir de "1"de 100 (inclusive) = primeiro algarismo
do 605o. n�mero de 3 algarismos = primeiro algarismo de 704 =
"7". -------------
Um racioc�nio an�logo (mas muito
mais longo, pois 123456789 >> 2002) ir� resolver o problema.
resp: 2 ***************
2) Achar um n�mero de quatro algarismos de tal modo que o algarismo das centenas seja a soma dos algarismos das dezenas e das unidades; o algarismo das dezenas seja o dobro da soma dos algarismos dos milhares e das unidades; o quociente da divis�o do n�mero pela soma dos valores absolutos de seus algarismos seja 109 e o resto 9, somando 819 ao n�mero obt�m-se o n�mero formado com os mesmos algarismos colocados na ordem inversa. Suponha que o n�mero seja (ABCD) = 1000A + 100B + 10C + D
Do enunciado, temos:
B = C + D
C = 2*(A + D)
1000A + 100B + 10C + D = 109*(A + B + C + D) + 9
1000A + 100B + 10C + D + 819 = 1000D + 100C + 10B + A
Agora � s� resolver este sistema linear de 4 equa��es e 4
inc�gnitas...
resp: 1862 ****************
3) Professor M�rcio, certo dia perguntou ao seu aluno se queria comprar uma impressora para conectar ao seu computador. N�o precisa se preocupar com o pre�o, vai lhe custar pouco mais de 700 reais. Quanto a forma de pagamento, voc� pagar� por m�s. Cada m�s paga o que quiser, e, no m�s que n�o puder pagar, n�o paga nada. N�o haver� juros. O aluno aceitou a proposta, mesmo sem saber o valor exato da compra. De imediato o Professor entregou a impressora e, sem hesitar, o aluno deu por conta 99 reais. Ao receber a nota do saldo devedor o aluno notou com surpresa que sua nova conta devedora era expressa pelos mesmos algarismos da d�vida primitiva, apenas trocados de ordem. No m�s seguinte, entregou ao Professor mais uma presta��o de 180 reais. A d�vida restante continuou, ainda, a ser expressa pelos mesmos algarismos apenas permutados... Como descobrir esse mist�rio e como ser� feito o c�lculo da d�vida do aluno ? Pre�o = (7AB) = 700 + 10A + B
(7AB) - 99 = X,
onde X = (A7B) ou (AB7) ou (B7A) ou (BA7)
(repare que n�o a alternativa (7BA) n�o aparece, pois (7AB) - 99 = (7BA)
implica em (AB) = 99 e (BA) = 00 ==> contradi��o)
(7AB) - 99 - 180 = (7AB) - 279 = Y,
onde Y = (A7B) ou (AB7) ou (B7A) ou (BA7)
e tamb�m Y = X - 180
Agora, � s� analisar cada uma das 4 possibilidades para X e ver quais que
funcionam. Se duas ou mais funcionarem, ent�o use as express�es para Y.
resp: A d�vida � de 746 reais
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Obs: Pessoal, as quest�es supra-citadas s�o de que �rea da matem�tica ? Seria teoria dos n�meros ? Quest�o 1: Como � s� uma quest�o de enumera��o, eu diria que �
de an�lise combinat�ria.
Quest�es 2 e 3: Envolvem representa��o de n�meros na base 10 e
tamb�m (no caso da 2) o algoritmo da divis�o com resto - assim, acho que se
encaixam em teoria dos n�meros, mas muito mais na linha recreativa.
Um abra�o,
Claudio.
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