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Dicas:Re: [obm-l]Re: [obm-l] Re:_[obm-l]_Re:_[obm-l]_Olimp�adas_ao_redor_do_mundo...
Mais ou menos...Tem algo que pode ajudar.Em Teoria dos Numeros tente sempre ou na maioria das vezes usar modulos e quadrados ou coisas assim.Teste de primalidade cai bem.Em Geometria depende muito de tudo.As vezes solu�oes com trigonometria sao feias mas nem sempre as geometricas sao boas.As vezes ser insistente ajuda.
Cl�udio_(Pr�tica) <claudio@praticacorretora.com.br> wrote:
Oi, Crom:
H� um tempo atr�s , eu perguntei ao Prof. Eduardo Wagner se havia alguma
forma sistem�tica de se resolver problemas de geometria mediante constru��es
auxiliares.
A resposta dele foi a seguinte:
"A resposta eh nao. Se existisse, a atividade de resolver problemas nao
teria
a menor graca. Mas as tentativas em obter construcoes auxiliares nao ocorrem
inteiramente ao acaso. Tracar uma paralela, uma perpendicular, fazer uma
rotacao, uma simetria (entre outras coisas), frequentemente permitem reunir
os dados
do problema em outra posicao, permitindo encontrar uma relacao entre eles.
[......]
A melhor fonte para conseguir construcoes auxiliares eh certamente a
experiencia.
Conhecer muitos problemas e observar cuidadosamente o porque da construcao."
Essa resposta vale tamb�m para a resolu��o de equa��es diofantinas (e, de
fato, para qualquer problema matem�tico).
Por exemplo, na outra equa��o que voc� menciona:
y^3 - x^3 = 9xy + 127
eu comecei usando congru�ncia mod 3 por causa dos cubos, do coeficiente 9 e
at� mesmo do 27 em 127 (apesar de 127 ser = 1 (mod 3)).
De certa forma, eu tentei explorar uma simetria do problema - v�rios itens
m�ltiplos de 3.
Agora, quanto aos novos problemas:
PROBLEMA 1:
Uma alternativa � observar que as constantes num�ricas s�o todas m�ltiplas
de 12.
Logo, voc� poderia pensar em usar congru�ncia mod 12.
No entanto, uma outra observa��o � que o maior expoente de x que aparece �
2.
Dada a familiariadade que todos n�s temos (espero!) com as equa��es de 2o.
grau, sou for�ado, nesse caso, a concordar com o Dirichlet - a melhor forma
de proceder � agrupar os coeficientes de forma a obter uma equa��o do 2o.
grau em x:
y(x^2+36)+x(y^2-36)+y^2(y-12) = 0 ==>
yx^2 + (y^2-36)x + y^3-12y^2+36y = 0
Se y = 0, ent�o s� pode ser x = 0 ==> (0,0) � solu��o
Supondo y <> 0, dividindo a equa��o por y e fatorando, obtemos:
x^2 + [(y-6)(y+6)/y]x + (y-6)^2 = 0 (A)
Delta = [(y-6)(y+6)/y]^2 - 4(y-6)^2
= [(y-6)^2/y^2] * [-3(y+2)(y-6)]
Se existem solu��es inteiras, ent�o Delta � quadrado perfeito ==>
-3(y+2)(y-6) � quadrado perfeito ==>
-3(y+2)(y-6) = m^2, para algum inteiro m ==>
y^2 - 4y + (m^2/3 - 12) = 0 (B)
Delta1 = 16 - 4(m^2/3 - 12) = 64 - 4m^2/3 = 4(16 - m^2/3)
Novamente temos que:
Se existe algum y inteiro que satisfaz a equa��o (B), ent�o Delta1 �
quadrado perfeito ==>
16 - m^2/3 � quadrado perfeito ==>
em particular, m � m�ltiplo de 3
m = 0 ==> 16 - m^2/3 = 16 = 4^2
m = 3 ==> 16 - m^2/3 = 16 - 3 = 13 ==> n�o � q.p.
m = 6 ==> 16 - m^2/3 = 4 = 2^2
m >= 9 ==> 16 - m^2/3 < 0 ==> n�o � q.p.
Assim, m s� pode ser 0 ou 6. Substituindo em (B), obtemos:
m = 0 ==>
y^2 - 4y - 12 = 0 ==>
y = 6 ou y = -2
m = 6 ==>
y^2 - 4y = 0 ==>
y = 0 ou y = 4
Substituindo estes valores de y em (A):
x^2 + [(y-6)(y+6)/y]x + (y-6)^2 = 0
obtemos:
y = 6 ==>
x^2 = 0 ==>
x = 0 ==>
(0,6) � solu��o
y = -2 ==>
x^2 + 16x + 64 = 0 ==>
(x + 8)^2 = 0 ==>
x = -8 ==>
(-8,-2) � solu��o
y = 0 ==> caso j� tratado acima (implica em x = 0)
y = 4 ==>
x^2 - 5x + 4 = 0 ==>
x = 1 ou x = 4 ==>
(1,4) e (4,4) s�o solu��es
Logo, pela an�lise acima, as �nicas solu��es s�o:
(0,0), (0,6) e (-8,-2), (1,4) e (4,4)
Pergunta pra voc�: Por que eu posso afirmar que estas s�o realmente as
�NICAS solu��es inteiras?
***********
PROBLEMA 2:
Aqui voc� pode usar uma propriedade da fun��o d: N --> N definida por:
d(x) = n�mero de divisores positivos de x
A propriedade � a seguinte:
se mdc(m,n) = 1 ent�o d(m*n) = d(m)*d(n)
Ela � equivalente � seguinte propriedade da fun��o d:
Se n = p1^a1*p2^a2*...*pr^ar, onde os pi s�o primos distintos e os ai s�o
inteiros n�o negativos, ent�o:
d(n) = (a1 + 1)*(a2 + 1)*...*(ar + 1)
Esta propriedade pode ser provada sem muito problema por indu��o (em r) ou
ent�o pelo princ�pio multiplicativo da an�lise combinat�ria.
Dito isso, passemos ao problema:
Suponhamos que n = 2^a*3^b*m, onde a e b s�o inteiros n�o negativos e m � um
inteiro positivo primo com 2 e 3.
Ent�o:
2n = 2^(a+1)*3^b*m
3n = 2^a*3^(b+1)*m
6n = 2^(a+1)*3^(b+1)*m
Logo:
d(2n) = (a+2)*(b+1)*d(m) = 28 (1)
d(3n) = (a+1)*(b+2)*d(m) = 30 (2)
d(6n) = (a+2)*(b+2)*d(m)
Agora, sabemos que:
28 = 2*2*7
30 = 2*3*5
e que d(m) � um fator comum a 28 e 30 ==>
d(m) = 1 ou d(m) = 2
Caso 1:
d(m) = 1 ==>
(a+2)*(b+1) = 28 e (a+1)*(b+2) = 30 ==>
ab + a + 2b = 26 e ab + 2a + b = 28 ==>
(subtraindo as duas equa��es) ==>
a = b + 2 ==>
(substituindo o valor de a na 2a. equa��o) ==>
(a+1)*a = 30 ==>
a = 5 ==>
b = 3 ==>
d(6n) = 7*5*1 = 35
Caso 2:
d(m) = 2 ==>
(a+2)*(b+1) = 14 e (a+1)*(b+2) = 15 ==>
ab + a + 2b = 12 e ab + 2a + b = 13 ==>
a = b + 1 ==>
(a+2)*a = 14 ==>
a n�o � inteiro ==>
n�o h� solu��o quando d(m) = 2
Logo, a conclus�o � que d(6n) = 35.
----- Original Message -----
From:
To:
Sent: Tuesday, March 18, 2003 12:01 PM
Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Olimp�adas ao redor do mundo...
> Nao precisa disso tudo...Analise uma equa�ao de segundo grau em x ai ce
> resolve com deltas e manda bala!!!!Use teoria bem elementar dos numeros.
> Na outra use as defini�oes
>
>
> -- Mensagem original --
>
> > E a� mo�ada.....t� mandando uns problemas , na esperan�a de ajuda...
> >1) Determine todos os pares de n�meros inteiros ( x,y ) que satisfazem
> a
> >
> >equa��o:
> > y(x^2+36)+x(y^2-36)+y^2(y-12)=0.
> >neste exercicio fiz o seguinte( baseado na resolu��o de uma outra equa��o
> >
> >pelo Claudio pratica), fiz y=x+a, substitui na equa��o e depois fiz a
an�lise
> >
> >para alguns valores de a que anulavam parcelas da equa��o achando os
pares
> >,
> >(4,4), ( 0,0 ),
> >( 0,6 ) e (-8,-2 ).....Mas como posso analisar as solu��es para valores
> de
> >a
> >que n�o anulam essas parcelas???
> >2) 2n tem 28 divisores distintos, 3n tem 30 divisores
distintos...determine
> >o
> >numero de divisores de 6n, onde n � natural???
> >Se alguem mandar uma ajuda, ser� de grande valia pra mim, que n�o tinha
>
> >contato com matem�tica ol�mpica. Est� matem�tica que banaliza a maioria
> das
> >
> >provas de vestibular e com certeza as provas acad�micas da faculdade(
dada
> >a
> >imprevisibilidade das quest�es) � t�o fascinante quanto
> >complexa...principalmente pra iniciantes como eu.
> > Crom
> >
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