[obm-l] RE: [obm-l] geometria analítica

["Artur Costa Steiner" <artur@xxxxxxxxxxxxx>]

Olá Morgado, 

Como resolver estas:

Mesmo não sendo o Morgado, vou tentar ajudar
 


(FUVEST) A reta y= mx (m>0) é tangente à circunferência (x-4)^2 + y^2=4.
Determine o seno do ângulo que a reta forma com o eixo x. 

resp: 1/2 

Por ser tangente à circunferencia, a reta intercepta-a em um, e apenas um,
ponto. Logo, a equação (x-4)^2 + (mx)^2 =4 tem uma, e apenas uma, raiz real.
Esta equação é equivalente a (1+ m^2)x^2 -8x + 12 =0, e apresentará uma
única solução real se, e somente se, seu discriminante for zero. Logo, 64 -
48 (1+ m^2) = 16 -48m^2 = 0, cuja solução é m = + ou - 1/raiz(3). Como, por
hipótese, m>0, apenas a solução positiva interessa. A reta, portanto, forma
com o eixo dos x um ângulo a  cuja tangente é 1/raiz(3). Segue-se que
sec(a)^2 = 1+ tan(a)^2 = 1+ 1/3 = 4/3. Logo, cos(a)^2 = 3/4 (o ângulo é do
primeiro quadrante) e sen(a)^2 = 1/4. Finalmente, concluímos que sen(a) =
1/2.  


(U.E. Londrina) Sejam a circunferência (lambda) x^2 + y^2 + 2x - 4y +1=0 e o
ponto P(-1,4) pertencente a lambda. A equação da reta tangente lambda pelo
ponto P é: 
resp: y=4

Calculando-se implicitamente a derivada de y com rel. a x, y', temos pela
regra da cadeia que 2x + 2y y' +2 -4 y'=0 -> y'= (-2x -2)/(2y -4) =
(x+1)/(2-y), y<>2. No ponto dado, temos que y' = 0, logo a tangente é
horizontal. E como esta tangente intercepta a circunferência em um ponto de
ordenada 4 segue-se que sua equação é y =4. 
Vc poderioa chegar rapidamente a esta mesma conclusão observado que a
equação da circunferência pode ser escrita como (x+1)^2 + (y-2)^2 = 4, a
qual tem centro em (-1, 2) e raio 2. Logo, (-1, 4) é ponto mais "alto" da
intersecção com a circunferência da vertical de abcissa -1, a qual passa
pelo centro de lambda. Como a tangente é perpendicular a esta vertical, a
conclusão é imediata. 

Um abraço
Artur

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