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[obm-l] Re: [obm-l] Re:_[obm-l]_Re:_[obm-l]_Re:_[obm-l]_verificações
Caro Pichurinbr:
Estou entrando no meio da discussão mas acho que posso ajudar.
O problema original é:
"Mostre que no R^2 , a operação
(a,b)*(c,d)=(a+d,b+c)
não verifica as propriedades comutativa e associativa da adição."
Realmente, o enunciado está ambíguo pois diz explicitamente qual é a
"adição" em questão.
Uma interpretação pode ser que a adição em questão é a operação "*", ou
seja:
Define-se uma operação "*" em R^2 por:
(a,b)*(c,d)=(a+d,b+c)
onde as adições no lado direito são adições usuais de números reais.
Temos que provar que esta operação "*" não é nem comutativa nem associativa,
ou seja:
1) que existem vetores (a,b) e (c,d) de R^2 tais que:
(a,b)*(c,d) <> (c,d)*(a,b)
e
2) que existem vetores (r,s), (t,u) e (v,w) de R^2 tais que:
(r,s)*[(t,u)*(v,w)] <> [(r,s)*(t,u)]*(v,w)
A única forma de se provar isso é por meio de contra-exemplos, os quais
devem ser escolhidos com cuidado.
Para o caso 1 (comutatividade), podemos escolher (a,b) = (1,2) e (c,d) =
(1,3).
Assim:
(1,2)*(1,3) = (1+3,2+1) = (4,3)
Por outro lado:
(1,3)*(1,2) = (1+2,3+1) = (3,4) <> (4,3)
Logo, (1,2)*(1,3) <> (1,3)*(1,2) e "*" não é comutativa
(apesar de existirem pares de vetores que comutam, tais como por exemplo
(1,1) e (2,2) )
Para o caso 2 (associatividade), escolhemos (1,2), (1,3) e (1,4).
Assim:
(1,2)*[(1,3)*(1,4)] = (1,2)*(1+4,3+1) = (1,2)*(5,4) = (1+4,2+5) = (5,7)
Por outro lado:
[(1,2)*(1,3)]*(1,4) = (1+3,2+1)*(1,4) = (4,3)*(1,4) = (8,4) <> (5,7)
Logo, (1,2)*[(1,3)*(1,4)] <> [(1,2)*(1,3)]*(1,4) e "*" não é associativa.
Espero ter ajudado.
Um abraço,
Claudio.
----- Original Message -----
From: "pichurin" <pichurinbr@yahoo.com.br>
To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
Sent: Friday, March 07, 2003 1:05 PM
Subject: Re: [obm-l] Re:_[obm-l]_Re:_[obm-l]_Re:_[obm-l]_verificações
> OK, mas no enunciado do problema consta R^2.
> Então (a,b) é um vetor.Ou estou errado?Caso (a,b) não
> seja um vetor, ele é o que?
>
> --- Wagner <timpa@uol.com.br> escreveu: > Oi pessoal!
> >
> > Quem disse que (a,b) e (c,d) são vetores e quem
> > disse que * é adição ou multiplicação?
> >
> > André T.
> >
> >
> > ----- Original Message -----
> > From: "pichurin" <pichurinbr@yahoo.com.br>
> > To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
> > Sent: Sunday, March 02, 2003 2:38 PM
> > Subject: Re: [obm-l] Re:
> > [obm-l]_Re:_[obm-l]_verificações
> >
> >
> > > Desculpe, mas estou aprendendo espaços vetoriais
> > agora
> > > e estou meio perdido nesse assunto.
> > >
> > > (a,b)*(c,d)=(c,d)(a,b)
> > > Isso não é comutativa de adição
> > > comutativa de adição seria:
> > > (a,b) + (c,d) = (c,d) + (a,b)
> > >
> > >
> > >
> > >
> > > --- "Nicolau C. Saldanha"
> > > <nicolau@sucuri.mat.puc-rio.br> escreveu: > On
> > Sun,
> > > Mar 02, 2003 at 01:26:40PM -0300, pichurin
> > > > wrote:
> > > > > Mas as propriedades associativa e comutativa
> > valem
> > > > > para adições, e não para a operação *.
> > > > > Não entendi.
> > > >
> > > > O que o Wagner Timpa observa é que não há nada
> > que
> > > > garanta
> > > > que a+d seja igual a b+c ou que b+c seja igual a
> > > > a+d,
> > > > que é o que a comutatividade exigiria
> > (analogamente
> > > > para associatividade).
> > > > Está certo, mas acho que com um contraexemplo
> > (como
> > > > o do Morgado)
> > > > fica mais claro.
> > > >
> > > > []s, N.
> > > >
> > > >
> > > > > --- Wagner <timpa@uol.com.br> escreveu: > Oi
> > para
> > > > > todos!
> > > > > >
> > > > > > Se vale a propriedade comutativa:
> > > > > > (a,b)*(c,d) = (c,d)*(a,b) =>
> > > > > > (a+d , b+c) = (b+c , a+d) . FALSO
> > > > > >
> > > > > > Se vale a propriedade associativa:
> > > > > > [(a,b)*(c,d)]*(e,f) = (a,b)*[(c,d)*(e,f)] =>
> > > > > > (a+d , b+c)*(e,f) = (a,b)*(c+f , d+e) =>
> > > > > > (a+d+f , b+c+e) = (a+d+e , b+c+f) . FALSO
> > > > > >
> > > > > > André T.
> > > > > >
> > > > > >
> > > > > > ----- Original Message -----
> > > > > > From: "pichurin" <pichurinbr@yahoo.com.br>
> > > > > > To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
> > > > > > Sent: Saturday, March 01, 2003 4:33 PM
> > > > > > Subject: [obm-l] verificações
> > > > > >
> > > > > >
> > > > > > > Mostre que no R^2 , a operação
> > > > > > (a,b)*(c,d)=(a+d,b+c)
> > > > > > > não verifica as propriedades comutativa e
> > > > > > associativa
> > > > > > > da adição.
> > > >
> > >
> >
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> > > O serviço de busca mais completo da Internet. O
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> > encontra.
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