Re: [obm-l] Problemas em Aberto III

["Cláudio \(Prática\)" <claudio@xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx>]

Caro Paulo:

Neste problema:
>
> Seja S o conjunto de todas as sequencia FINITAS de INTEIROS POSITIVOS
> tais que se {Xn}=X1, X2, ...,Xn pertence a S entao para todo P < N,
> X1+X2+...+Xp NAO E congruo a 1 modulo 3. Mostre que existe uma bijecao
entre
> S e o conjunto de todos os impares positivos.
>
eu fiz o seguinte raciocínio:

Seja N = conjunto dos inteiros positivos.

Então:
1. Existe uma bijeção entre quaisquer dois conjuntos enumeráveis;
2. O conjunto dos ímpares positivos é enumerável;
3. Pelas definições básicas de função (conjunto de pares ordenados com
primeiras coordenadas distintas duas a duas) e sequência (função cujo
domínio é N) cada sequência de S consiste de um conjunto de pares ordenados
{ (1,X1), (2,X2), ..., (n,Xn) , ... } onde cada Xi é um inteiro positivo e
onde existe um inteiro positivo n, tal que Xk = 0 para k > n. Assim, cada
sequência de S é um subconjunto de N x (N U {0}), o qual é enumerável. Logo,
cada sequência de S é um conjunto enumerável.
3. S é enumerável, por ser uma reunião enumerável de conjuntos enumeráveis.

Logo, existe uma bijeção entre S e o conjunto de todos os ímpares positivos.


Uma outra alternativa é fazer a correspondência:

(X1, ..., Xn)  <==>  0,X1X2...Xn  (ou seja, cada sequencia corresponde a um
número obtido justapondo-se os Xi's e tratando-os como decimais)
Como cada sequencia é finita, as decimais serão finitas e os números obtidos
serão todos racionais.
Assim, teremos obtido uma bijeção entre S e um subconjunto dos racionais.
Logo, S será enumerável.

Tá certo o que eu fiz?

O estranho é que em nenhum momento eu usei a propriedade aritmética das
sequências.

Um abraço,
Claudio.

=========================================================================
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
O administrador desta lista é <nicolau@mat.puc-rio.br>
=========================================================================