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Caro Leandro:
Supondo provados os resultados de
(a) e (b), eu consegui fazer uma perna do (c).
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Sejam u,v vetores em R^n e
A=uvT. Entao, mostre que
(a)
A^2 = (u.v) A. Esse eu fiz.
(u.v denota o produto interno)
(b)
Use a parte (a) para mostrar que se
u.v e diferente de zero, entao (u.v) e o unico autovalor diferente de zero de
A. (Esse eu fiz)
(c)
Use a parte (a) e a parte (b) para
mostrar que se A tem posto 1, entao I-A e inversivel se e somente se A^2 e
diferente de A.
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Inicialmente, temos que se posto(A) = 1, então A <> 0.
A minha idéia foi a de provar o contrapositivo de (c), ou seja: A^2 = A se e somente se I - A é singular
Suponhamos que A^2 = A. Então, (por (a)) A^2 = (u.v)A = A ==> [ (u.v) - 1 ]A = 0 ==> u.v - 1 = 0, já que A <> 0 ==> u.v = 1 ==> (por (b)) 1 é o único autovalor não-nulo de A ==> det(xI - A) = 0 tem como única raiz não nula x = 1 ==> det(I - A) = 0 ==> I - A é singular.
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Na "volta" eu me enrolei justamente por não conseguir eliminar o caso em que u.v = 0. Veja só:
Suponhamos que I - A seja singular ==> det(I - A) = 0 ==> x = 1 é raiz de det(xI - A) = 0 ==> 1 é autovalor de A ==> (por (b)) u.v = 0 ou u.v = 1
Agora, consideremos separadamente estes dois casos: Caso 1: u.v = 1 ==> (u.v)A = 1A = A ==> (por (a)) A^2 = A (até aqui, tudo bem)
Caso 2: u.v = 0 ==> (por (a)) A^2 = (u.v)A = 0A = 0 ==> A^2 <> A (*** ==> justamente o oposto do que se pretendia)
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Deve haver alguma relação do tipo: "Se posto(A) = 1 e u.v = 0, então I - A é inversível", a qual eliminaria o Caso 2, mas não consegui provar nada nessa linha.
De fato, testando alguns exemplos 3x3 numa planilha, eu cheguei à seguinte conjectura: u.v = 0 e A = uvT ==> det(I - A) = 1.
Vou pensar mais um pouco a respeito.
Um abraço, Claudio.
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