[obm-l] Problema 2 do marcio

[okakamo kokobongo <okaka_koko@xxxxxxxxxxxx>]

  Oi Gugu, (e demais membros da lista)

  Aqui vai uma solução elementar do problema 2 do
Marcio.
  Seja P(x) um polinômio mônico em Q[X], irredutível e
seja p um primo ímpar. (P(x) =
(x-a_1)(x-a_2)...(x-a_n))
Vamos provar que P(x^p) é irredutível. Seja q(x) um
fator irredutível de P(x^p), onde q(x) =
(x-b_1)(x-b_2)...(x-b_k). Claramente Temos: para todo
i, existe j tal que: (b_i)^p = a_j.
Seja q~(x) = (x-b_1^p)(x-b_2^p)...(x-b_k^p). Como os
coeficientes de q~(x) são polinômios simétricos nas
variáveis b_1, b_2, ..., b_k, claramente q~(x) está em
Q[X].
Claramente {b_i^p, 1 <= i <= k} = {a_j, 1 <= j <= n},
pois se estes conjuntos forem diferentes, o mdc (P(x),
q~(x)) seria um poliômio em Q[X] de grau menor que P e
teria algumas raízes em comum com P, o que é um
absurdo pois P é irredutível.
De modo análogo provamos que #{i, b_i^p = a_j} não
depende de j (basta ir dividindo q~(x) por P(x)).
Fica fácil ver agora que P(0) é uma potência de p, o
que é um absurdo, logo P(x^p) é irredutível.

Obs.: Essa demonstração só usa o teorema de Newton.

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