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[obm-l] Teorema Fundamental da Algebra
Saudacoes!
A prova era assim: pensa que seu polinomio e' P(z)=z^n+a1.z^(n-1)+...+an.
Se z=R.cis(t),P(z)=R^n(cis(nt)+o(1)), onde o(1) e' uma coisa pequena, que
tende a 0 quando R tende a infinito. Mas isso mostra que a imagem de um
circulo grande por P(z) da' n voltas em torno de 0 (a origem) no sentido
anti-horario. Por outro lado, se P(0) nao e' 0, entao a imagem de um circulo
pequeno centrado em 0 por P esta' pertinho de P(0) e logo nao da' volta
nenhuma em torno da origem. Se P(z) nunca e' 0, entao o numero de voltas que
a imagem por P de um circulo de centro em 0 e raio R da' em torno de 0 e'
sempre inteiro e e' uma funcao continua de R, donde e' constante, absurdo
pois varia entre 0 (para R pequeno) e n (para R grande). Portanto em algum
momento as imagens desses circulos devem passar por 0 (a unica coisa que
pode fazer mudar o numero de voltas), e logo existe c com P(c)=0.
Abracos,
Gugu
Nota:cis(t):=cos(t)+i.sen(t).
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>>Ola Gugu,tudo bem?Voce poderia me passar a tal demonstraçao do Teorema Fundamental da Algebra que voce tinha
>dado na Semana Olimpica?Estou muito interessado em ve-la.O Shine tinha me falado numa demonstraçao bem legal.
>Vou reproduzir uns trechos que a minha fraca memoria ainda retem.Aproveito e respondo algo aos caras da
>lista.Ha tempos que eles perguntam disso!!
>>
>>Pegue o polinomio P(x).Ce quer um z complexo tal que P(z)=0.Seja z=r*cis T=x+yi.
>>
>>Substitua a segunda forma na equaçao e voce obtem as curvas
>>
>>Re(x,y)=0 e Im(x,y)=0,com P(x+yi)=Re(x,y)+i*Im(x,y).
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>>Mostrando que Re e Im se cortam,acabou.Para tal trabalhe com um disco de raio gigante centrado na origem
>e mostre que os caras se cortam dentro dele.
>>
>>Melhor que isso:Que tal colocar isto na Eureka?
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>>-THE WOOD IS EATING!!!!
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>>-NO PROBLEM,TEA WITH ME THAT I BOOK YOUR FACE.
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>><P>Ola Gugu,tudo bem?Voce poderia me passar a tal demonstraçao do Teorema Fundamental da Algebra que voce tinha dado na Semana Olimpica?Estou muito interessado em ve-la.O Shine tinha me falado numa demonstraçao bem legal.Vou reproduzir uns trechos que a minha fraca memoria ainda retem.Aproveito e respondo algo aos caras da lista.Ha tempos que eles perguntam disso!!</P>
>><P>Pegue o polinomio P(x).Ce quer um z complexo tal que P(z)=0.Seja z=r*cis T=x+yi.</P>
>><P>Substitua a segunda forma na equaçao e voce obtem as curvas </P>
>><P>Re(x,y)=0 e Im(x,y)=0,com P(x+yi)=Re(x,y)+i*Im(x,y).</P>
>><P>Mostrando que Re e Im se cortam,acabou.Para tal trabalhe com um disco de raio gigante centrado na origem e mostre que os caras se cortam dentro dele.</P>
>><P>Melhor que isso:Que tal colocar isto na Eureka?</P><BR><BR><P><FONT face="Arial Black">-THE WOOD IS EATING!!!!</FONT></P>
>><P><FONT face="Arial Black">-NO PROBLEM,TEA WITH ME THAT I BOOK YOUR FACE.</FONT></P><p><br><hr size=1><b><a href="http://br.busca.yahoo.com/">Busca Yahoo! </a></b><br>
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