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demonstração está correta. A expressão vale para todo x>0. O autor não se
limitou ao caso x=1, ele apenas fez x = 1 para determinar a constante. Artur -----Original Message----- Hi all! Discutindo com um amigo meu sobre a demonstração das
propriedades do logaritmo natural, encontrada no "Calculo com Geometria
Analítica", do Swokowsky, ele argumentou que a mesma seria falha. Vou
expor a prova encontrada no livro citado e depois discutir. Propriedade: Se p > 0 e q > 0 log(p*q) = log(p) + log(q) Demonstração: Primeiro, tomamos log(p*x) e log(x) como antiderivadas de
1/x (isso é fácil ver se derivarmos os logs, p > 0). Então, um teorema
garante que log(p*x) = log(x) + C (1) para alguma constante C. Nesse momento (e aqui começa a discussão), o autor faz x =
1. Como log(1) = 0, temos: log(p) = log(1) + C => C = log(p) (2) Substituindo (2) em (1), temos: log(p*x) = log(x) + log(p) Como q > 0 está no domínio do log, podemos tomar x
= q e a prova está concluída: log(p*q) = log(p) + log(q) Agora, a confusão deu-se no momento que o autor fez x = 1,
para obter a constante e substituir na expressão. Meu amigo diz que essa demonstração
não é rigorosamente válida pois ele nào a demonstrou para todo x, apenas para x
= 1. Eu disse que, uma vez que a função log está definida para todo x > 0,
então não haveria problema em tomar x = 1, pois este ponto teria a mesma
"propriedade" de todos os outros pontos do domínio (existe algum
teorema que garante isso? inferi isso pois o Guidorizzi, em "Um Curso
de Cálculo", também usou desse artifício, considerando uma função definida
em [a,b] e tomando x = a). Julguem e comentem... Quem está com a razão? Grato, Henrique Patrício Sant'Anna Branco. |