Re: [obm-l] Desigualdade

Eu nao acredito!!!!!!!A resposta parece ser 1/4 e tenho razoes e proporçoes fortissimas para acreditar em tal.O caso n=4 sai com uma fatoraçao esperta e MA>=MG.

Caros JP, Domingos Jr. e Artur:

Só pra relembrar. O problema original é:

Maximizar: P = A(1)*A(2) + A(2)*A(3) + ... + A(n)*A(1)

Sujeito a: A(1) + A(2) + ... + A(n) = 1 e os A(i)'s reais não negativos.

Após alguma discussão, chegamos à conclusão de que se os A(i)'s fossem reais quaisquer, então P seria ilimitado e também conseguimos maximizar e minimizar a soma dos quadrados dos A(i)'s mas não chegamos a nenhuma conclusão sobre o problema acima, que me parece bem mais interessante.

Eu fiz alguma coisa para valores pequenos de n:

n = 2:

Maximizar P = x*y

Sujeito a: x + y = 1 (x,y >= 0)

Esse caso é fácil:

Pmax = 1/4 para x = y = 1/2 (pode-se usar MG <= MA).

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n = 3:

Maximizar: P = x*y + y*z + z*x

Sujeito a: x + y + z = 1 (x,y,z >= 0)

P é linear em cada uma das variáveis (dP/dx não depende de x, dP/dy não depende de y, etc.)

Além disso, dP/dx = y + z >= 0 (analogamanete para dP/dy e dP/dz).

Assim, acho que dá pra concluir que o valor máximo de P ocorre na fronteira do seu domínio (isso vale para qualquer n).

Fazendo z = 1 - x - y, teremos:

P = x*y + x + y - (x + y)^2 ==>

dP/dx = 1 - 2x - y = 0 ==> 2x + y = 1

dP/dy = 1 - x - 2y = 0 ==> x + 2y = 1 ==>

x = y = 1/3 ==> z = 1/3 ==> P = 1/3.

d^2P/dx^2 = d^2P/dy^2 = -2 < 0 e d^2P/(dxdy) = 0 ==> máximo ==>

Pmax = 1/3 para x = y = z = 1/3.

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n = 4:

Max: P = x*y + y*z + z*u + u*x

S.a: x + y + z + u = 1 (x,y,z,u >= 0)

P = (x + z)*(y + u)

u = 1 - x - y - z ==>

P = x + z - 2*x*z - x^2 - z^2 ==>

dP/dx = 1 - 2x - 2z

dP/dy = 0

dP/dz = 1 - 2x - 2z ==> x + z = 1/2 ==> y + u = 1/2

Pmax = 1/4 para quaisquer x, y, z, u tais que: x + z = 1/2 e y + u = 1/2.

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n = 5:

Max: P = x*y + y*z + z*u + u*v + v*x

s.a.: x + y + z + u + v = 1 (x,y,z,u,v >= 0)

v = 1 - x - y - z - u ==>

P = x + u - x^2 - u^2 - u*x - y*u - z*x + y*z ==>

dP/dx = 1 - 2x - z - u = 0

dP/dy = -u + z = 0

dP/dz = -x + y = 0

dP/du = 1 - 2u - x - y = 0 ==>

1 - 2x - 2u = 0; z = u; y = x ==>

x + u = 1/2; z + y = 1/2 ==> v = 0 ==> P = x^2 + x*u + u^2

Agora, o problema se reduz a:

Max: P = x^2 + x*u + u^2

S.a: x + u = 1/2 (x,u >= 0)

Mas: P = (x + u)^2 - x*u = 1/4 - x*u <= 1/4, pois x e u são >= 0.

Igualdade <==> x = 0 ou u = 0 ==> Pmax = 1/4.

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Para n >= 5, o meu chute é que Pmax = 1/4, mas não tive saco de generalizar a demonstração do caso n = 5.

O que vocês acham?

Um abraço,

Claudio.