Re: [obm-l] O numero fi

["Paulo Santa Rita" <p_ssr@xxxxxxxxxxx>]

Oi Claudio,

Nao ha erro. Claramente que se a-r,a,a+r (uma PA)e uma PG entao
a^2=(a-r)(a+r) => r=0, isto e, uma PA so e PG se os termos forem constantes.

No enunciado abaixo, onde se le PA, leia-se Propriedade Aritmetica :
An+1=An + An-1. Procura-se uma sequencia A1, A2, ... que tenha apropriedade 
aritmetica e que tambem seja uma Progressao Geometrica. Com o numero fi 
existem duas sequencias assim.

A serie : 1, fi, 1+fi, 1+2fi, 2+3fi, 3+5fi,5+8fi, ... e chamada SEQUENCIA 
AUREA. Aqui, fi=(1+raiz_2(5))/2.
Considere agora 1, fi, fi^2, fi^3, ...

Um Abraco
Paulo Santa rita
6,1012,210203


Um Abraco
Paulo Santa Rita
6,1005,210203






>From: "Cláudio \(Prática\)" <claudio@praticacorretora.com.br>
>Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
>To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
>Subject: Re: [obm-l] O numero fi
>Date: Thu, 20 Feb 2003 17:31:13 -0300
>
>Caro Paulo:
>
>Ficaria muito satisfeito se você mostrasse onde eu errei na solução do
>Problema 1.
>
> > PROBLEMA 1) "fi" e uma das solucoes de x^2 + x - 1=0. Exiba uma 
>sequencia
>de
> > numeros reais, estritamente crescente, tal que ela seja simultaneamente
>uma
> > PA e uma PG. Esta sequencia e unica ou existe
> > outra(s) ?
> >
>Seja A(0) = A
>Então, para todo n: A(n) = A + D*n = A*Q^n com:
>D > 0
>e
>Q > 1 se A > 0   ou   0 < Q < 1 se A < 0 (de qualquer forma, Q <> 1).
>
>n = 1: A(1) = A + D = A*Q
>n = 2: A(2) = A + 2D = A*Q^2
>
>(1) ==> D = A*(Q - 1)
>(2) - (1)  ==> D = A*Q*(Q-1)  ==> A*(Q-1) = A*Q*(Q-1)
>
>A = 0 ==> PG é constante ==> contradição ==> A <> 0 ==>
>Q-1 = Q*(Q-1)
>Como Q <> 1 ==> Q = 1 ==> contradição
>
>Assim, não existe tal sequência. De fato, não existem sequer 3 números que
>formem, ao mesmo tempo, uma PA e uma PG estritamente crescentes.
>
>*************
>
> > PROBLEMA 2) Seja 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ..., An, ... a sequencia de
>fibonaci.
> > Qual o LIM An/An-1 quando n tende ao infinito ?
> >
>O n-ésimo termo da sequência de Fibonacci tem uma fórmula fechada bem
>conhecida e dada por:
>A(n) = (1/raiz(5))*[U^n - (-1/U)^n]
>onde U = (1+raiz(5))/2
>(A(1) = A(2) = 1)
>
>Assim,
>A(n)/A(n-1) =
>[U^n - (-1/U)^n] / [U^(n-1) - (-1/U)^(n-1)] =
>[U - (-1)^n/U^(2n-1)] / [1 - (-1)^(n-1)/U^(2n-2)]
>
>Logo, lim A(n)/A(n-1) = [U - 0]/[1 - 0] = U = (1+raiz(5))/2
>
>************
>
>Um abraço,
>Claudio.
>
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