[obm-l] RE: [obm-l] Partição

[João Gilberto Ponciano Pereira <jopereira@xxxxxxxxxxxxx>]

"2) Determine todos os inteiros positivos M tais que o conjunto {1 2, ...,
3M} admite uma partição em M subconjuntos de 3 elementos tal que a soma dos
elementos de cada subconjunto é constante."
 
A Questão é... Como distribuir os elementos?
Vamos imaginar uma seqüência de 6 consecutivos....
 
n-2, n-1, n, n+1, n+2, n+3. Neste caso, podemos fazer 3 pares de forma que a
soma seja 2n-1:
(n-2) e (n+3)
(n-1) e (n+2)
(n) e (n+1).
 
Logo, se M for par, basta ir distribuindo os números de 6 em 6 (1 a 6, 7 a
12... 3M-6 a 3M), pelo método acima.
 
E se M for ímpar? Neste caso, podemos dividir os 9 primeiros termos (1 a 9)
em 3 grupos de soma igual:
1,5,9 = 15
2,6,7 = 15
3,4,8 = 15
Para o restante, podemos seguir de 6 em 6. (1 a 9, 10 a 15, 16 a 21...1996 a
2001)
 
Proposta: Podemos pensar até num exercício um pouco mais elaborado, do tipo:
 
3) Determine todos os inteiros positivos M tais que o conjunto {1 2, ...,
kM} admite uma partição em M subconjuntos de k elementos tal que a soma dos
elementos de cada subconjunto é constante.

-----Original Message-----
From: Cláudio (Prática) [mailto:claudio@praticacorretora.com.br]
Sent: Thursday, February 20, 2003 12:34 PM
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Subject: [obm-l] Partição


Caros colegas da lista:
 
Estou embananado com este aqui:
 
1) Prove que existe uma partição de {1, 2, ..., 2001} em 667 subconjuntos de
3 elementos tal que a soma dos elementos de cada subconjunto é igual a 3003.
 
2) Determine todos os inteiros positivos M tais que o conjunto {1 2, ...,
3M} admite uma partição em M subconjuntos de 3 elementos tal que a soma dos
elementos de cada subconjunto é constante.
 
Um abraço,
Claudio.

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